Номер 12.17, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.17. Найдите площадь поверхности цилиндра, получающегося вращением правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой:

а) содержащей боковое ребро;

б) проходящей через центры ее оснований (рис. 12.13).

Дано:

Правильная шестиугольная призма.

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м.

Найти:

а) $S_a$ - площадь поверхности цилиндра, получающегося вращением призмы вокруг прямой, содержащей боковое ребро.

б) $S_б$ - площадь поверхности цилиндра, получающегося вращением призмы вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований.

Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2\pi Rh + 2\pi R^2 = 2\pi R(h+R)$, где $R$ - радиус основания, а $h$ - высота цилиндра.

а)

Рассмотрим вращение призмы вокруг прямой, содержащей боковое ребро. В результате вращения образуется прямой круговой цилиндр.

Высота этого цилиндра $h$ равна высоте призмы. По условию, все ребра правильной шестиугольной призмы равны 1 см, значит, высота равна стороне основания: $h = a = 0.01$ м.

Радиус основания цилиндра $R_a$ определяется как наибольшее расстояние от оси вращения до точки на поверхности призмы. При вращении вокруг бокового ребра (например, $AA_1$ на рисунке), наиболее удаленной является вершина противоположного ребра (например, $DD_1$). Расстояние от оси вращения до этой вершины равно большой диагонали шестиугольного основания.

Большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. Следовательно, радиус основания цилиндра: $R_a = 2a = 2 \cdot 0.01 \text{ м} = 0.02$ м.

Теперь вычислим площадь полной поверхности полученного цилиндра:

$S_a = 2\pi R_a(h + R_a) = 2\pi \cdot 0.02 \cdot (0.01 + 0.02) = 0.04\pi \cdot 0.03 = 0.0012\pi$ м².

Ответ: $0.0012\pi$ м².

б)

Рассмотрим вращение призмы вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований. Эта прямая является осью симметрии призмы. В результате вращения также образуется прямой круговой цилиндр.

Высота этого цилиндра $h$ равна высоте призмы: $h = a = 0.01$ м.

Радиус основания цилиндра $R_б$ равен расстоянию от оси вращения (центра основания) до любой из вершин шестиугольника. Для правильного шестиугольника это расстояние равно его стороне (так как правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников), что также является радиусом описанной окружности.

Следовательно, радиус основания цилиндра: $R_б = a = 0.01$ м.

Вычислим площадь полной поверхности этого цилиндра:

$S_б = 2\pi R_б(h + R_б) = 2\pi \cdot 0.01 \cdot (0.01 + 0.01) = 0.02\pi \cdot 0.02 = 0.0004\pi$ м².

Ответ: $0.0004\pi$ м².