Номер 12.25, страница 81 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.25. На внутренней стенке цилиндрической банки, длина окружности основания которой равна 24 см, в двух с половиной сантиметрах от верхнего края висит капля меда, а на наружной стенке, в диаметрально противоположной точке, сидит муха (рис. 12.21). Найдите длину кратчайшего пути, по которому муха может доползти до меда.

Рис. 12.21

Дано:

Длина окружности основания цилиндрической банки, $C = 24$ см.

Расстояние от капли меда до верхнего края (на внутренней стенке), $h_м = 2,5$ см.

Муха сидит на наружной стенке в диаметрально противоположной точке от капли меда.

Перевод в СИ:

$C = 0,24$ м

$h_м = 0,025$ м

(Примечание: так как все данные в сантиметрах, для удобства будем производить вычисления в сантиметрах).

Найти:

Длину кратчайшего пути, по которому муха может доползти до меда, $L_{min}$.

Решение:

Чтобы найти кратчайший путь для мухи, которая ползет по поверхности банки, нужно "развернуть" эту поверхность в плоскость. Муха находится снаружи, а мед — внутри, поэтому мухе необходимо пересечь либо верхний, либо нижний край банки. Кратчайшее расстояние между двумя точками на такой развернутой поверхности будет прямая линия.

В условии задачи не указана высота, на которой сидит муха. Рисунок является лишь иллюстрацией. В таких задачах обычно предполагается симметричное расположение. Будем считать, что муха находится на том же расстоянии от верхнего края, что и капля меда, но на наружной стенке. То есть расстояние от мухи до верхнего края $h_{муха} = 2,5$ см.

Рассмотрим два возможных маршрута.

1. Путь через верхний край банки

Представим, что мы разрезали боковую поверхность банки по вертикали и развернули ее в прямоугольник. Ширина этого прямоугольника равна длине окружности основания. Поскольку муха и мед находятся на разных сторонах стенки, мы можем представить две такие развертки (внешнюю и внутреннюю), мысленно "раскрыв" банку по верхнему краю и положив обе поверхности на одну плоскость.

На этой общей развертке путь мухи будет представлять собой прямую линию. Длину этой прямой можно найти по теореме Пифагора. Катетами прямоугольного треугольника будут горизонтальное и вертикальное смещения.

а) Горизонтальное смещение. Так как муха и мед находятся в диаметрально противоположных точках, это расстояние равно половине длины окружности: $d_{горизонт} = C / 2 = 24 / 2 = 12$ см.

б) Вертикальное смещение. Оно складывается из пути мухи вверх до края и пути от края вниз к меду: $d_{вертикал} = h_{муха} + h_м = 2,5 + 2,5 = 5$ см.

Теперь найдем длину кратчайшего пути через верхний край ($L_{верх}$) как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 12 см и 5 см: $L_{верх} = \sqrt{d_{горизонт}^2 + d_{вертикал}^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

2. Путь через нижний край банки

Длина этого пути зависит от высоты банки $H$, которая не задана. Мухе нужно спуститься на расстояние $(H - h_{муха})$, а затем подняться на $(H - h_м)$.

Общее вертикальное смещение составит: $d_{вертикал}' = (H - h_{муха}) + (H - h_м) = (H - 2,5) + (H - 2,5) = 2H - 5$ см.

Длина пути через низ: $L_{низ} = \sqrt{12^2 + (2H - 5)^2}$.

Чтобы этот путь был короче пути через верх, должно выполняться условие $L_{низ} < L_{верх}$, то есть $\sqrt{12^2 + (2H - 5)^2} < 13$. Это возможно только если $|2H - 5| < 5$, что означает $0 < 2H < 10$, или $2,5 < H < 5$ см (высота банки $H$ не может быть меньше 2,5 см). Обычно банки имеют высоту значительно больше 5 см (например, для банки с окружностью 24 см диаметр составляет $D=C/\pi \approx 7.6$ см, и стандартные пропорции предполагают большую высоту). Следовательно, можно с уверенностью считать, что путь через верхний край является кратчайшим.

Таким образом, кратчайший путь для мухи равен 13 см.

Ответ: $13$ см.