Страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.15. Радиус основания конуса равен 1 см. Образующая составляет с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите радиус:

а) описанной;

б) вписанной сферы.

Дано:

Радиус основания конуса $r_k = 1 \text{ см}$

Угол между образующей и плоскостью основания $\alpha = 45^\circ$

$r_k = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

a) Радиус описанной сферы $R$

б) Радиус вписанной сферы $r_s$

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса $D = 2r_k$, а боковыми сторонами — образующие конуса $l$. Высота этого треугольника является высотой конуса $H$. Угол между образующей и плоскостью основания — это угол при основании этого равнобедренного треугольника, равный $\alpha = 45^\circ$.

Высота конуса $H$, радиус основания $r_k$ и образующая $l$ связаны через прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза, а $H$ и $r_k$ — катеты. Угол между $l$ и $r_k$ равен $\alpha$.

Найдем высоту конуса $H$:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{r_k}$

$H = r_k \cdot \tan(45^\circ) = 1 \cdot 1 = 1 \text{ см}$

Так как $H = r_k = 1 \text{ см}$, то прямоугольный треугольник, образованный высотой, радиусом и образующей, является равнобедренным.

Найдем длину образующей $l$ по теореме Пифагора:

$l = \sqrt{H^2 + r_k^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ см}$

а) описанной

Описанная около конуса сфера проходит через его вершину и окружность основания. Ее центр лежит на оси конуса. В осевом сечении мы имеем окружность, описанную около равнобедренного треугольника (осевого сечения конуса).

Найдем угол при вершине этого треугольника. Так как углы при основании равны по $45^\circ$, угол при вершине равен $180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$.

Следовательно, осевое сечение конуса — это прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Гипотенузой в данном случае является диаметр основания конуса $D = 2r_k = 2 \cdot 1 = 2 \text{ см}$.

Радиус $R$ описанной окружности (и, соответственно, описанной сферы) равен половине гипотенузы:

$R = \frac{D}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ см}$

Ответ: $R = 1 \text{ см}$.

б) вписанной сферы

Вписанная в конус сфера касается его основания и боковой поверхности. Ее центр также лежит на оси конуса. В осевом сечении мы имеем окружность, вписанную в равнобедренный треугольник.

Радиус $r_s$ вписанной окружности (и вписанной сферы) можно найти по формуле для радиуса вписанной в треугольник окружности: $r_s = \frac{K}{s}$, где $K$ — площадь треугольника, а $s$ — его полупериметр.

Площадь осевого сечения (треугольника):

$K = \frac{1}{2} \cdot D \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \text{ см}^2$

Периметр треугольника:

$P = l + l + D = \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2 = 2\sqrt{2} + 2 \text{ см}$

Полупериметр:

$s = \frac{P}{2} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{2} = \sqrt{2} + 1 \text{ см}$

Теперь найдем радиус вписанной сферы:

$r_s = \frac{K}{s} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:

$r_s = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1 \text{ см}$

Ответ: $r_s = \sqrt{2} - 1 \text{ см}$.

16.16. Образующая конуса равна 1 см и составляет с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите радиус:

а) описанной;

б) вписанной сферы.

Дано:
Образующая конуса $l = 1$ см.
Угол между образующей и плоскостью основания $\alpha = 30^\circ$.

Найти:
а) Радиус описанной сферы $R_о$.
б) Радиус вписанной сферы $R_в$.

Решение:

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса $l$, а углы при основании равны углу наклона образующей к плоскости основания $\alpha$. Высота этого треугольника является высотой конуса $h$, а половина основания – радиусом основания конуса $r$.

Найдем высоту $h$ и радиус $r$ конуса из прямоугольного треугольника, образованного образующей, высотой и радиусом основания.

Высота конуса: $h = l \cdot \sin\alpha = 1 \cdot \sin30^\circ = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Радиус основания конуса: $r = l \cdot \cos\alpha = 1 \cdot \cos30^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

а) Найти радиус описанной сферы.

Описанная около конуса сфера проходит через его вершину и окружность основания. Центр этой сферы лежит на оси конуса, а её сечение плоскостью, проходящей через ось конуса, является окружностью, описанной около осевого сечения конуса.

Радиус $R_о$ описанной окружности для треугольника (осевого сечения) можно найти по теореме синусов: $R_о = \frac{l}{2\sin\alpha}$

Подставим известные значения: $R_о = \frac{1}{2\sin30^\circ} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1$ см.

Ответ: $R_о = 1$ см.

б) Найти радиус вписанной сферы.

Вписанная в конус сфера касается его основания и всех образующих. Центр вписанной сферы лежит на оси конуса, а её сечение плоскостью, проходящей через ось конуса, является окружностью, вписанной в осевое сечение.

Радиус $R_в$ вписанной окружности можно найти из прямоугольного треугольника, одним из острых углов которого является половина угла при основании осевого сечения, то есть $\frac{\alpha}{2}$. Катетами этого малого треугольника являются радиус основания конуса $r$ и радиус вписанной сферы $R_в$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $R_в = r \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Нам нужно найти $\tan(15^\circ)$, так как $\frac{\alpha}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

Используем формулу тангенса разности: $\tan15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan45^\circ - \tan30^\circ}{1 + \tan45^\circ \cdot \tan30^\circ} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3-\sqrt{3})$: $\tan15^\circ = \frac{(3-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}$

Теперь вычислим радиус вписанной сферы: $R_в = r \cdot \tan15^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (2 - \sqrt{3}) = \frac{2\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{2}$ см.

Ответ: $R_в = \frac{2\sqrt{3} - 3}{2}$ см.

16.17.Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 1 см, образующая равна 2. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:

Радиус большего основания усеченного конуса $R_1 = 2$ см

Радиус меньшего основания усеченного конуса $R_2 = 1$ см

Образующая усеченного конуса $l = 2$ см

$R_1 = 0.02$ м
$R_2 = 0.01$ м
$l = 0.02$ м

Найти:

Радиус описанной сферы $R_{сф}$

Решение:

Описанная сфера проходит через окружности оснований усеченного конуса. Центр сферы лежит на оси конуса. Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобокую трапецию, которая вписана в большую окружность сферы. Радиус этой окружности и будет искомым радиусом описанной сферы.

Найдем параметры этой трапеции. Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса, а боковые стороны — его образующей.

Большее основание трапеции: $a = 2R_1 = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Меньшее основание трапеции: $b = 2R_2 = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Боковая сторона трапеции: $c = l = 2$ см.

Для дальнейших вычислений найдем высоту трапеции $h$. Если из вершины меньшего основания опустить перпендикуляр на большее, образуется прямоугольный треугольник. Его гипотенуза — это боковая сторона $c$, один из катетов — высота $h$, а другой катет равен полуразности оснований:

Катет $k = \frac{a - b}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h = \sqrt{c^2 - k^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см.

Радиус окружности, описанной около трапеции, равен радиусу окружности, описанной около треугольника, образованного тремя ее вершинами. Рассмотрим треугольник, сторонами которого являются большее основание $a$, боковая сторона $c$ и диагональ трапеции $d$.

Найдем длину диагонали $d$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю $d$, высотой $h$ и частью большего основания. Длина этой части основания равна $a - k = 4 - 1 = 3$ см.

По теореме Пифагора:

$d^2 = h^2 + (a - k)^2 = (\sqrt{3})^2 + 3^2 = 3 + 9 = 12$.

$d = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник со сторонами $a=4$ см, $c=2$ см и $d=2\sqrt{3}$ см. Проверим, выполняется ли для него теорема Пифагора:

$c^2 + d^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16$.

$a^2 = 4^2 = 16$.

Так как $c^2 + d^2 = a^2$, этот треугольник является прямоугольным, а его гипотенузой — большее основание трапеции $a$.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы.

Следовательно, радиус описанной сферы $R_{сф}$ равен:

$R_{сф} = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Ответ: $2$ см.

16.18. Докажите, что радиус $r$ сферы, вписанной в усеченный конус, радиусы оснований которого равны $R_1$, $R_2$, а образующая равна $b$, выражается формулой:

$r = \frac{\sqrt{b^2 - (R_1 - R_2)^2}}{2}$.

Дано:

Усеченный конус, в который вписана сфера.
$R_1$ — радиус большего основания усеченного конуса.
$R_2$ — радиус меньшего основания усеченного конуса.
$b$ — длина образующей усеченного конуса.
$r$ — радиус вписанной сферы.

Найти (Доказать):

$r = \frac{\sqrt{b^2 - (R_1 - R_2)^2}}{2}$

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и вписанной в него сферы. Сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция, а сечением вписанной сферы — окружность, вписанная в эту трапецию.

Пусть основаниями трапеции являются отрезки $AD$ и $BC$. Длины оснований трапеции равны диаметрам оснований конуса: $AD = 2R_1$ и $BC = 2R_2$. Боковые стороны трапеции равны образующей конуса: $AB = CD = b$.

Высота усеченного конуса $h$ является также высотой трапеции. Так как в трапецию вписана окружность с радиусом $r$, ее высота равна диаметру этой окружности, то есть $h = 2r$.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В результате образуется прямоугольный треугольник $ABH$. В этом треугольнике:

• Гипотенуза $AB$ равна образующей конуса: $AB = b$.
• Катет $BH$ равен высоте трапеции: $BH = h$.
• Катет $AH$ можно найти как полуразность оснований трапеции: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2R_1 - 2R_2}{2} = R_1 - R_2$.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABH$: $AB^2 = AH^2 + BH^2$

Подставим известные значения в это уравнение: $b^2 = (R_1 - R_2)^2 + h^2$

Из этого уравнения выразим квадрат высоты $h^2$: $h^2 = b^2 - (R_1 - R_2)^2$

Следовательно, высота $h$ равна: $h = \sqrt{b^2 - (R_1 - R_2)^2}$

Ранее мы установили, что высота трапеции связана с радиусом вписанной окружности соотношением $h = 2r$. Отсюда $r = \frac{h}{2}$.

Подставив найденное выражение для $h$ в формулу для радиуса $r$, получаем: $r = \frac{\sqrt{b^2 - (R_1 - R_2)^2}}{2}$

Таким образом, формула доказана.
Ответ: Доказано.

16.19. Радиусы оснований усеченного конуса равны 4 см и 1 см, образующая равна 5 см. Найдите радиус вписанной сферы.

Дано:

Радиус большего основания усеченного конуса $R = 4$ см.

Радиус меньшего основания усеченного конуса $r = 1$ см.

Образующая усеченного конуса $l = 5$ см.

$R = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$l = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Радиус вписанной сферы $r_{сф}$.

Решение:

Для того чтобы в усеченный конус можно было вписать сферу, необходимо выполнение определенного условия. Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$), а боковые стороны равны образующей конуса $l$. Осевым сечением вписанной сферы является окружность, вписанная в эту трапецию.

Окружность можно вписать в четырехугольник (в нашем случае, в трапецию) тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это условие записывается так:

$2R + 2r = l + l$

Упростив выражение, получаем:

$R + r = l$

Проверим, выполняется ли это условие для данных в задаче величин:

$4 \text{ см} + 1 \text{ см} = 5 \text{ см}$

Поскольку образующая $l$ также равна 5 см, условие выполняется. Это означает, что в данный усеченный конус действительно можно вписать сферу.

Диаметр сферы, вписанной в усеченный конус, равен высоте этого конуса $h$. Следовательно, радиус вписанной сферы $r_{сф}$ равен половине высоты:

$r_{сф} = \frac{h}{2}$

Чтобы найти высоту $h$, рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется в осевом сечении. Его гипотенузой является образующая $l$, одним катетом — высота конуса $h$, а вторым катетом — разность радиусов оснований $(R-r)$.

По теореме Пифагора имеем:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Выразим из этой формулы высоту $h$:

$h = \sqrt{l^2 - (R-r)^2}$

Подставим известные значения в формулу:

$h = \sqrt{5^2 - (4-1)^2} = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$

Теперь, зная высоту усеченного конуса, можем найти радиус вписанной сферы:

$r_{сф} = \frac{h}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}$

Ответ: 2 см.

16.20. Радиусы оснований усеченного конуса, в который вписана сфера, равны 2 см и 3 см. Найдите образующую этого усеченного конуса.

Дано:

Радиус меньшего основания усеченного конуса, $r = 2$ см.

Радиус большего основания усеченного конуса, $R = 3$ см.

В усеченный конус вписана сфера.

$r = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$R = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Образующую усеченного конуса, $L$.

Решение:

Сфера может быть вписана в усеченный конус тогда и только тогда, когда в его осевое сечение можно вписать окружность. Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция.

Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть $2r$ и $2R$. Боковые стороны трапеции равны образующей конуса $L$.

Ключевым свойством четырехугольника, в который можно вписать окружность (описанный четырехугольник), является равенство сумм длин его противоположных сторон.

Применительно к нашей трапеции, сумма длин боковых сторон должна быть равна сумме длин оснований:

$L + L = 2r + 2R$

Упростим это уравнение:

$2L = 2(r + R)$

Отсюда находим образующую:

$L = r + R$

Подставим в полученную формулу значения радиусов, данные в условии задачи:

$L = 2 \text{ см} + 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$

Таким образом, длина образующей этого усеченного конуса равна 5 см.

Ответ: 5 см.

16.21. Образующая усеченного конуса, в который вписана сфера, равна 8 см. Радиус одного основания этого усеченного конуса равен 5 см. Найдите радиус другого основания.

Дано:

Усеченный конус, в который вписана сфера.

Образующая $l = 8$ см.

Радиус одного основания $r_1 = 5$ см.

Перевод в систему СИ:
$l = 0.08$ м
$r_1 = 0.05$ м

Найти:

Радиус другого основания $r_2$.

Решение:

Основное свойство усеченного конуса, в который можно вписать сферу, заключается в том, что его образующая равна сумме радиусов оснований.

Это свойство следует из рассмотрения осевого сечения усеченного конуса. Осевое сечение представляет собой равнобедренную трапецию, в которую вписана окружность (которая является большим кругом вписанной сферы).

У такой трапеции сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2r_1$ и $2r_2$), а боковые стороны равны образующей конуса ($l$).

Таким образом, мы можем записать равенство: $2r_1 + 2r_2 = l + l$

Упростив это выражение, получаем ключевую формулу: $r_1 + r_2 = l$

Подставим известные значения в формулу. Пусть радиус одного основания $r_1 = 5$ см, а радиус другого основания — $r_2$. Образующая $l = 8$ см.

$5 + r_2 = 8$

Теперь найдем $r_2$: $r_2 = 8 - 5$ $r_2 = 3$ см

Таким образом, радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 3 см. Если бы мы предположили, что 5 см - это меньший радиус, то больший радиус оказался бы равен 3 см, что является противоречием. Следовательно, найденное значение является единственно верным.

Ответ: 3 см.

16.22. Повторите определение длины окружности и формулу для вычисления длины окружности.

Определение длины окружности

Длина окружности — это предел, к которому стремится периметр правильного многоугольника, вписанного в эту окружность, когда число его сторон неограниченно возрастает. Интуитивно, если представить окружность в виде замкнутой нити, а затем разрезать её и выпрямить в отрезок, то длина этого отрезка и будет являться длиной окружности.

Важнейшим свойством любой окружности является то, что отношение её длины $C$ к её диаметру $d$ есть величина постоянная. Эту константу принято обозначать греческой буквой $\pi$ (пи).

$ \frac{C}{d} = \pi $

Таким образом, длину окружности можно также определить как величину, которая в $\pi$ раз больше её диаметра.

Ответ: Длина окружности — это предел периметров правильных вписанных в неё многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон. Также её можно определить как величину, равную произведению её диаметра на число $\pi$.

Формула для вычисления длины окружности

Исходя из определения, что отношение длины окружности $C$ к её диаметру $d$ равно числу $\pi$, можно получить основную формулу для вычисления длины окружности:

$C = \pi d$

Поскольку диаметр окружности равен двум её радиусам ($d = 2r$), формулу можно представить в виде, использующем радиус $r$:

$C = \pi \cdot (2r) = 2\pi r$

Здесь:
$C$ — длина окружности;
$d$ — диаметр окружности;
$r$ — радиус окружности;
$\pi$ — математическая константа, иррациональное число, приблизительно равное $3,14159$.

Ответ: Формула для вычисления длины окружности через её диаметр: $C = \pi d$. Формула для вычисления длины окружности через её радиус: $C = 2\pi r$.