Страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17.16. Радиус шара равен 3 см. Найдите площадь боковой поверхности шарового пояса, высота которого равна 1 см.

Дано:

Радиус шара, $R = 3$ см

Высота шарового пояса, $h = 1$ см

Перевод данных в систему СИ:

$R = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$h = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности шарового пояса $S_{бок}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности шарового пояса (также называемого сферическим поясом) определяется формулой:

$S_{бок} = 2 \pi R h$

где $R$ — это радиус шара, а $h$ — высота шарового пояса.

Подставим известные значения в эту формулу:

$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 3 \text{ см} \cdot 1 \text{ см}$

$S_{бок} = 6\pi \text{ см}^2$

Таким образом, площадь боковой поверхности заданного шарового пояса составляет $6\pi$ квадратных сантиметров.

Ответ: $6\pi \text{ см}^2$.

поля, высота которого равна 1 см.

17.17. Найдите площадь поверхности Земли, считая длину Парижского меридиана равной 40 000 км.

Дано:

Длина Парижского меридиана $L = 40 000 \text{ км}$.

Найти:

Площадь поверхности Земли $S_{пов}$.

Решение:

Для решения задачи будем считать Землю идеальным шаром. Парижский меридиан в этом случае представляет собой большую окружность, проходящую через полюса Земли.

Длина большой окружности $L$ связана с радиусом шара $R$ следующей формулой:

$L = 2 \pi R$

Из этой формулы мы можем выразить радиус Земли $R$:

$R = \frac{L}{2 \pi}$

Площадь поверхности сферы $S_{пов}$ вычисляется по формуле:

$S_{пов} = 4 \pi R^2$

Теперь подставим выражение для радиуса $R$ в формулу площади поверхности:

$S_{пов} = 4 \pi \left(\frac{L}{2 \pi}\right)^2 = 4 \pi \frac{L^2}{4 \pi^2} = \frac{L^2}{\pi}$

Мы получили простую формулу для вычисления площади поверхности через известную длину меридиана. Подставим в нее данное значение $L = 40 000 \text{ км}$:

$S_{пов} = \frac{(40\,000 \text{ км})^2}{\pi} = \frac{1\,600\,000\,000}{\pi} \text{ км}^2$

Выполним вычисления, используя значение $\pi \approx 3.14159$:

$S_{пов} \approx \frac{1\,600\,000\,000}{3.14159} \approx 509\,295\,817.9 \text{ км}^2$

Округлим полученный результат. Учитывая, что исходное значение длины меридиана (40 000 км) вероятнее всего имеет две значащие цифры ($4.0 \times 10^4$), результат также следует округлить до двух значащих цифр.

$S_{пов} \approx 5.1 \times 10^8 \text{ км}^2 = 510\,000\,000 \text{ км}^2$.

Ответ: Площадь поверхности Земли приблизительно равна $510 \text{ млн км}^2$.

17.18. Диаметр шара монумента Байтерек в Нур-Султане (рис. 17.4) равен 22 м. Найдите площадь поверхности этого шара.

Рис. 17.4

Дано:

Диаметр шара $d = 22$ м.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Площадь поверхности шара $S$.

Решение:

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

$S = 4\pi r^2$

где $r$ – это радиус шара.

Сначала найдем радиус шара. Радиус равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{22 \text{ м}}{2} = 11 \text{ м}$.

Теперь подставим значение радиуса в формулу площади поверхности:

$S = 4\pi \cdot (11 \text{ м})^2 = 4\pi \cdot 121 \text{ м}^2 = 484\pi \text{ м}^2$.

Ответ: $484\pi \text{ м}^2$.

17.19. ЭКСПО-2017 — Международная специализированная выставка под эгидой Международного бюро выставок, прошедшая в столице Казахстана в 2017 году. Главным объектом выставки стало здание "Нұр Әлем" (каз. "Сияющий мир"), которое является самым большим сферическим зданием в мире. Его высота — 100 метров, а диаметр — 80 метров (рис. 17.5). Найдите площадь поверхности этой сферы. (Примите $ \pi \approx 3 $)

Рис. 17.4

Рис. 17.5

Дано:

Диаметр сферы ($d$) = 80 м

Число $\pi \approx 3$

Найти:

Площадь поверхности сферы ($S$) - ?

Решение:

17.19. Для нахождения площади поверхности сферы используется формула:

$S = 4\pi R^2$

где $S$ — площадь поверхности, а $R$ — радиус сферы.

В условии задачи дан диаметр сферы $d = 80$ м. Радиус сферы равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{80 \text{ м}}{2} = 40 \text{ м}$

Теперь подставим известные значения в формулу площади поверхности, используя данное в условии приближение $\pi \approx 3$:

$S = 4 \cdot 3 \cdot (40 \text{ м})^2 = 12 \cdot 1600 \text{ м}^2 = 19200 \text{ м}^2$

Информация о высоте здания (100 метров) является дополнительной и не используется в расчете площади поверхности сферической части.

Ответ: 19200 м$^2$.

17.20. Шар радиусом 1 см пересечен двумя параллельными плоскостями, которые делят перпендикулярный им диаметр шара в отношении 1 : 2 : 3. Определите площадь поверхности шара, заключенную между секущими плоскостями.

Дано:

Радиус шара, $R = 1 \text{ см}$

Отношение отрезков диаметра, которые образуют секущие плоскости, $1:2:3$

$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Площадь поверхности шара, заключенную между секущими плоскостями ($S_{зоны}$)

Решение:

Площадь части поверхности шара, заключенной между двумя параллельными плоскостями, называется площадью шарового пояса (или сферической зоны). Она вычисляется по формуле:

$S_{зоны} = 2 \pi R h$

где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота шарового пояса, то есть расстояние между секущими плоскостями.

В условии сказано, что две параллельные плоскости пересекают шар и делят перпендикулярный им диаметр на три отрезка, длины которых относятся как $1:2:3$. Высота шарового пояса $h$ как раз равна длине среднего из этих отрезков.

1. Найдем длину диаметра шара $D$:

$D = 2R = 2 \times 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$

2. Найдем длины отрезков, на которые делится диаметр. Общее количество частей в отношении равно:

$1 + 2 + 3 = 6$

Следовательно, диаметр $D$ состоит из 6 равных долей. Длина одной доли составляет:

$\frac{D}{6} = \frac{2 \text{ см}}{6} = \frac{1}{3} \text{ см}$

3. Теперь найдем длину каждого из трех отрезков:

Первый отрезок: $1 \times \frac{1}{3} \text{ см} = \frac{1}{3} \text{ см}$

Второй отрезок: $2 \times \frac{1}{3} \text{ см} = \frac{2}{3} \text{ см}$

Третий отрезок: $3 \times \frac{1}{3} \text{ см} = 1 \text{ см}$

Длина среднего отрезка и есть высота нашего шарового пояса: $h = \frac{2}{3} \text{ см}$.

4. Подставим значения $R$ и $h$ в формулу площади шарового пояса:

$S_{зоны} = 2 \pi R h = 2 \pi \cdot 1 \text{ см} \cdot \frac{2}{3} \text{ см} = \frac{4\pi}{3} \text{ см}^2$

Ответ: Площадь поверхности шара, заключенная между секущими плоскостями, равна $\frac{4\pi}{3} \text{ см}^2$.

17.21. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник (рис. 17.6). Докажите, что площадь поверхности конуса равна площади поверхности шара, диаметр которого равен высоте конуса.

Рис. 17.6

Дано:

Конус, у которого осевое сечение является равносторонним треугольником.
Шар, диаметр которого $D_{шара}$ равен высоте конуса $h_{конуса}$.

Найти:

Доказать, что площадь полной поверхности конуса $S_{конуса}$ равна площади поверхности шара $S_{шара}$.

Решение:

Площадь полной поверхности конуса вычисляется как сумма площади основания и площади боковой поверхности: $S_{конуса} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l$, где $r$ – радиус основания конуса, а $l$ – длина его образующей.

По условию, осевое сечение конуса — это равносторонний треугольник. Обозначим его сторону как $a$. Две стороны этого треугольника являются образующими конуса $l$, а третья сторона — диаметром основания конуса $2r$. Таким образом, для нашего конуса выполняется равенство: $l = a$ и $2r = a$. Отсюда следует, что образующая конуса в два раза больше радиуса его основания: $l = 2r$.

Подставим это соотношение в формулу площади полной поверхности конуса:
$S_{конуса} = \pi r^2 + \pi r (2r) = \pi r^2 + 2\pi r^2 = 3\pi r^2$.

Теперь рассмотрим шар. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$, где $R$ – радиус шара. Через диаметр $D$ формула выглядит так: $S_{шара} = \pi D^2$.

По условию задачи, диаметр шара равен высоте конуса: $D_{шара} = h_{конуса}$. Высота конуса $h_{конуса}$ является высотой равностороннего осевого сечения со стороной $a = 2r$. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим $a = 2r$ в формулу высоты:
$h_{конуса} = \frac{2r\sqrt{3}}{2} = r\sqrt{3}$.

Следовательно, диаметр шара $D_{шара} = r\sqrt{3}$.

Теперь мы можем вычислить площадь поверхности шара:
$S_{шара} = \pi D_{шара}^2 = \pi (r\sqrt{3})^2 = \pi (r^2 \cdot 3) = 3\pi r^2$.

Сравнив полученные выражения для площади поверхности конуса и площади поверхности шара, мы видим, что они равны:
$S_{конуса} = 3\pi r^2$
$S_{шара} = 3\pi r^2$
Таким образом, $S_{конуса} = S_{шара}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь поверхности конуса ($S_{конуса} = 3\pi r^2$) равна площади поверхности шара ($S_{шара} = 3\pi r^2$), диаметр которого равен высоте конуса.