Страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.14. Найдите радиус основания и высоту конуса, описанного около правильной треугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 см.

Дано:
Правильная треугольная пирамида, у которой все ребра равны $a = 1$ см.
Конус описан около пирамиды.

Найти:
Радиус основания конуса $R$ и высоту конуса $H$.

Решение:

Поскольку конус описан около правильной треугольной пирамиды, их вершины совпадают, а основание конуса представляет собой окружность, описанную около основания пирамиды. Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
Радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около равностороннего треугольника, который является основанием пирамиды. Сторона этого треугольника равна длине ребра пирамиды, то есть $a = 1$ см.
Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Подставим значение $a = 1$ см:
$R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

2. Найдем высоту конуса $H$.
Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды $H_{пир}$. Высоту пирамиды можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H_{пир}$, боковым ребром пирамиды $L$ (которое является гипотенузой) и радиусом описанной около основания окружности $R$ (который является катетом).
В нашей задаче все ребра пирамиды равны 1 см, значит, боковое ребро $L = 1$ см. Радиус $R$ мы уже нашли, он равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.
По теореме Пифагора:
$L^2 = H^2 + R^2$
Отсюда выразим высоту $H$:
$H = \sqrt{L^2 - R^2}$
Подставим известные значения:
$H = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{9}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

Ответ: радиус основания конуса равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см, высота конуса равна $\frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

18.15. Найдите радиус основания и высоту конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.
Конус описан около пирамиды.
Длина ребра основания пирамиды $a = 1$ см.
Длина бокового ребра пирамиды $l = 1$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания конуса $R$
Высоту конуса $H$

Решение:

Так как конус описан около правильной четырехугольной пирамиды, их вершины совпадают, а основание пирамиды (квадрат) вписано в основание конуса (окружность). Следовательно, высота конуса равна высоте пирамиды, а радиус основания конуса — радиусу окружности, описанной около квадрата.

Радиус основания конуса
Основанием пирамиды является квадрат со стороной $a = 1$ см. Радиус $R$ основания конуса равен радиусу окружности, описанной около этого квадрата. Он равен половине диагонали квадрата $d$.
Найдем диагональ по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.
Следовательно, радиус основания конуса равен:
$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.
Ответ: радиус основания конуса равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Высота конуса
Высота конуса $H$ равна высоте пирамиды $h_{пир}$. Высоту пирамиды найдем из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $h_{пир}$ и радиус описанной окружности $R$, а гипотенузой — боковое ребро пирамиды $l$.
По условию $l = 1$ см. Из предыдущего пункта $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.
По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$.
Выразим высоту $H$:
$H^2 = l^2 - R^2$
Подставим известные значения:
$H^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$H = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.
Ответ: высота конуса равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

18.16. Найдите радиус основания и высоту конуса, описанного около правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида, вписанная в конус.
Сторона основания пирамиды, $a = 1 \text{ см}$
Боковое ребро пирамиды, $l = 2 \text{ см}$

$a = 0.01 \text{ м}$
$l = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания конуса, $R$
Высоту конуса, $H$

Решение:

Так как конус описан около правильной шестиугольной пирамиды, то вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание пирамиды (правильный шестиугольник) вписано в основание конуса (окружность).

Из этого следует, что радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около правильного шестиугольника, а высота конуса $H$ равна высоте пирамиды $H_{пир}$.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне.

$R = a$

По условию $a = 1 \text{ см}$, следовательно:

$R = 1 \text{ см}$

2. Найдем высоту конуса $H$.
Высота пирамиды $H_{пир}$, ее боковое ребро $l$ и радиус описанной окружности основания $R$ образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро $l$ является гипотенузой, а высота $H_{пир}$ и радиус $R$ — катетами.

По теореме Пифагора:

$l^2 = H_{пир}^2 + R^2$

Высота конуса $H = H_{пир}$, поэтому можем найти $H$:

$H = \sqrt{l^2 - R^2}$

Подставим известные значения $l = 2 \text{ см}$ и $R = 1 \text{ см}$:

$H = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \text{ см}$

Ответ: радиус основания конуса равен $1 \text{ см}$, высота конуса равна $\sqrt{3} \text{ см}$.

18.17. Найдите радиус основания и высоту конуса, вписанного в правильную треугольную пирамиду, ребра которой равны 1 см.

Дано:

Правильная треугольная пирамида (тетраэдр), у которой все ребра равны.

Длина ребра $a = 1 \text{ см}$

В пирамиду вписан конус.

Перевод в систему СИ не требуется, так как все единицы измерения согласованы.

Найти:

Радиус основания конуса $r$

Высоту конуса $h$

Решение:

Поскольку конус вписан в правильную треугольную пирамиду, их вершины совпадают, а основание конуса является окружностью, вписанной в основание пирамиды. Это означает, что высота конуса $h$ равна высоте пирамиды $H$, а радиус основания конуса $r$ равен радиусу вписанной в основание пирамиды окружности.

1. Найдем радиус основания конуса $r$.

Основанием пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 1 \text{ см}$. Радиус $r$ вписанной в него окружности вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение $a = 1 \text{ см}$:

$r = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \text{ см}$

2. Найдем высоту конуса $h$.

Высота конуса $h$ равна высоте пирамиды $H$. Высоту пирамиды можно найти из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус $R$ описанной около основания окружности, а гипотенузой — боковое ребро пирамиды $L$. По условию, все ребра равны, значит $L = a = 1 \text{ см}$.

Найдем радиус $R$ окружности, описанной около основания. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ он вычисляется по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение $a = 1 \text{ см}$:

$R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

Теперь по теореме Пифагора найдем высоту пирамиды $H$ (и конуса $h$):

$H^2 + R^2 = L^2$

$h^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 1^2$

$h^2 + \frac{3}{9} = 1$

$h^2 + \frac{1}{3} = 1$

$h^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$h = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \text{ см}$

Ответ: радиус основания конуса равен $\frac{\sqrt{3}}{6} \text{ см}$, высота конуса равна $\frac{\sqrt{6}}{3} \text{ см}$.

18.18. Найдите радиус основания и высоту конуса, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны 1 см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ - квадратное основание.

Все ребра равны 1 см, т.е. сторона основания $a = AB = BC = CD = DA = 1$ см, и боковые ребра $l = SA = SB = SC = SD = 1$ см.

В пирамиду вписан конус.

Найти:

Радиус основания конуса $r$ и высоту конуса $h$.

Решение:

Поскольку конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду, их вершины совпадают, и их высоты равны. Основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (квадрат).

1. Найдем радиус основания конуса $r$.

Основание конуса — это окружность, вписанная в квадратное основание пирамиды. Сторона этого квадрата $a = 1$ см. Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.

Диаметр $d = a = 1$ см.

Радиус основания конуса равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

2. Найдем высоту конуса $h$.

Высота конуса $h$ совпадает с высотой пирамиды $H$. Пусть $O$ — центр квадрата $ABCD$ (точка пересечения диагоналей). Тогда $SO$ — высота пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOC$, где $S$ — вершина пирамиды, $O$ — центр основания, $C$ — вершина основания.

Катет $SO$ — это искомая высота $h$.

Гипотенуза $SC$ — это боковое ребро пирамиды, $SC = 1$ см.

Катет $OC$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Сначала найдем диагональ $AC$ по теореме Пифагора для треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$AC = \sqrt{2}$ см.

Тогда $OC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь по теореме Пифагора для треугольника $SOC$:

$SO^2 + OC^2 = SC^2$

$h^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1^2$

$h^2 + \frac{2}{4} = 1$

$h^2 + \frac{1}{2} = 1$

$h^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$h = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: радиус основания конуса равен $0.5$ см, высота конуса равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

18.19. Найдите радиус основания и высоту конуса, вписанного в правильную шестиугольную пирамиду, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см.

Дано:

В правильную шестиугольную пирамиду вписан конус.
Сторона основания пирамиды, $a = 1$ см.
Боковое ребро пирамиды, $l = 2$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания конуса, $r$.
Высоту конуса, $H$.

Решение:

Поскольку конус вписан в правильную шестиугольную пирамиду, его вершина совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (правильный шестиугольник). Из этого следует, что высота конуса $H$ равна высоте пирамиды $H_{пир}$, а радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в основание пирамиды $r_{впис}$.

1. Найдем радиус основания конуса $r$.

Радиус $r$ равен радиусу окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a = 1$ см. Радиус вписанной окружности для правильного шестиугольника (его апофема) вычисляется по формуле:

$r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны основания $a = 1$ см:

$r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$

2. Найдем высоту конуса $H$.

Высота конуса $H$ равна высоте пирамиды $H_{пир}$. Высоту пирамиды можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H_{пир}$, боковым ребром $l$ (гипотенуза) и радиусом окружности, описанной около основания пирамиды $R_{опис}$ (катет).

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне:

$R_{опис} = a = 1 \text{ см}$

По теореме Пифагора:

$l^2 = H_{пир}^2 + R_{опис}^2$

Выразим высоту $H = H_{пир}$:

$H^2 = l^2 - R_{опис}^2$

Подставим известные значения $l = 2$ см и $R_{опис} = 1$ см:

$H^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$H = \sqrt{3} \text{ см}$

Ответ: радиус основания конуса равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см, высота конуса равна $\sqrt{3}$ см.

18.20. Докажите, что если около четырехугольной призмы можно описать цилиндр, то суммы противолежащих двугранных углов при боковых ребрах этой призмы равны.

Решение:

1. Пусть дана четырехугольная призма, около которой описан цилиндр. Условие, что около призмы можно описать цилиндр, означает, что все вершины призмы лежат на поверхности этого цилиндра. В частности, вершины основания, скажем $A, B, C, D$, лежат на окружности нижнего основания цилиндра, а соответствующие им вершины верхнего основания призмы лежат на окружности верхнего основания цилиндра. Отсюда следует, что основание призмы — четырехугольник $ABCD$ — является вписанным в окружность.

2. Основное свойство вписанного четырехугольника гласит, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. То есть для основания $ABCD$ выполняются равенства:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$.

3. Боковые ребра призмы ($AA_1, BB_1$ и т.д.) соединяют соответствующие вершины оснований. Поскольку эти вершины лежат на боковой поверхности цилиндра, боковые ребра призмы должны быть параллельны оси цилиндра. Ось цилиндра по определению перпендикулярна его основаниям. Следовательно, боковые ребра призмы перпендикулярны ее основаниям. Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, является прямой призмой.

4. Двугранный угол при боковом ребре прямой призмы равен соответствующему углу в ее основании. Например, двугранный угол при ребре $BB_1$ образован гранями $ABB_1A_1$ и $CBB_1C_1$. Так как призма прямая, ребра основания $AB$ и $BC$ перпендикулярны боковому ребру $BB_1$. Поэтому угол $\angle ABC$ является линейным углом этого двугранного угла. Обозначим двугранные углы при ребрах, проходящих через вершины $A, B, C, D$, как $\phi_A, \phi_B, \phi_C, \phi_D$ соответственно. Тогда:
$\phi_A = \angle A$
$\phi_B = \angle B$
$\phi_C = \angle C$
$\phi_D = \angle D$

5. Требуется доказать, что суммы противолежащих двугранных углов равны. Противолежащими являются пары углов при ребрах $AA_1$ и $CC_1$, а также $BB_1$ и $DD_1$. То есть нам нужно доказать, что $\phi_A + \phi_C = \phi_B + \phi_D$. Используя равенства из пункта 4, перепишем это как $\angle A + \angle C = \angle B + \angle D$.
Из пункта 2 мы знаем, что $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$.
Следовательно, $\phi_A + \phi_C = 180^\circ$ и $\phi_B + \phi_D = 180^\circ$.
Таким образом, $\phi_A + \phi_C = \phi_B + \phi_D$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если около четырехугольной призмы можно описать цилиндр, то она является прямой, а ее основание — вписанным четырехугольником. Двугранные углы при боковых ребрах такой призмы равны соответствующим углам основания. Так как суммы противолежащих углов вписанного четырехугольника равны $180^\circ$, то и суммы противолежащих двугранных углов равны между собой (обе суммы равны $180^\circ$).

При боковых ребрах этой призмы равны.

18.21. Докажите, что если в четырехугольную пирамиду можно вписать конус, то суммы противолежащих плоских углов четырехгранного угла при вершине этой пирамиды равны.

Решение

Пусть дана четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной в точке $S$ и основанием $ABCD$. Плоские углы четырехгранного угла при вершине этой пирамиды — это углы $\angle ASB, \angle BSC, \angle CSD, \angle DSA$.

Условие, что в пирамиду можно вписать конус, означает, что их вершины совпадают (в точке $S$), а боковые грани пирамиды (плоскости $SAB, SBC, SCD, SDA$) являются касательными к боковой поверхности конуса.

Ключевое свойство конуса заключается в том, что все его касательные плоскости наклонены под одним и тем же углом к его оси. Следовательно, если в пирамиду вписан конус, то все ее боковые грани наклонены под одинаковым углом к оси этого конуса.

Для доказательства воспользуемся методом сферической геометрии. Рассмотрим сферу единичного радиуса с центром в вершине пирамиды $S$. Лучи $SA, SB, SC, SD$, являющиеся боковыми ребрами пирамиды, пересекут эту сферу в точках $A', B', C', D'$. Плоскости боковых граней пирамиды пересекут сферу по дугам больших окружностей $A'B', B'C', C'D', D'A'$. Эти дуги образуют на сфере сферический четырехугольник $A'B'C'D'$.

Длины сторон этого сферического четырехугольника, измеренные в радианах, равны величинам соответствующих плоских углов при вершине $S$:

длина дуги $A'B' = \angle ASB$

длина дуги $B'C' = \angle BSC$

длина дуги $C'D' = \angle CSD$

длина дуги $D'A' = \angle DSA$

Пусть ось вписанного конуса пересекает нашу сферу в точке $P$. Так как все боковые грани пирамиды равнонаклонены к оси конуса, то и содержащие их дуги больших окружностей ($A'B', B'C', C'D', D'A'$) находятся на одинаковом сферическом расстоянии от точки $P$. Это означает, что в сферический четырехугольник $A'B'C'D'$ можно вписать окружность с центром в точке $P$.

Для сферического четырехугольника, в который можно вписать окружность, справедливо свойство, аналогичное теореме Пифагора для плоских описанных четырехугольников: суммы длин его противоположных сторон равны. Докажем это. Пусть вписанная окружность касается сторон $A'B', B'C', C'D', D'A'$ в точках $K, L, M, N$ соответственно. Отрезки касательных, проведенных из одной вершины к окружности, равны. Например, рассмотрим сферические треугольники $\triangle PA'K$ и $\triangle PA'N$. Они прямоугольные (радиус $PK$ и $PN$ перпендикулярен касательной дуге), имеют общую гипотенузу $PA'$ и равные катеты $PK = PN$ (как радиусы вписанной окружности). Следовательно, эти треугольники равны, и длина дуги $A'K$ равна длине дуги $A'N$.

Аналогично, $B'K = B'L$, $C'L = C'M$ и $D'M = D'N$.

Теперь сравним суммы длин противоположных сторон сферического четырехугольника:

$A'B' + C'D' = (A'K + KB') + (C'M + MD') = A'N + B'L + C'L + D'N$

$B'C' + D'A' = (B'L + LC') + (D'N + NA') = B'L + C'L + D'N + A'N$

Из этих выражений видно, что $A'B' + C'D' = B'C' + D'A'$.

Возвращаясь к плоским углам при вершине пирамиды, заменяем длины дуг на соответствующие углы:

$\angle ASB + \angle CSD = \angle BSC + \angle DSA$

Таким образом, мы доказали, что суммы противолежащих плоских углов четырехгранного угла при вершине этой пирамиды равны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

18.22. Докажите, что если около четырехугольной пирамиды можно описать конус, то суммы противолежащих двугранных углов четырехгранного угла при вершине этой пирамиды равны.

Решение

Рассмотрим четырехугольную пирамиду $SABCD$, где $S$ — вершина, а $ABCD$ — основание. По условию, около этой пирамиды можно описать конус. Это означает, что вершина пирамиды $S$ является вершиной конуса, а все вершины основания пирамиды $A, B, C, D$ лежат на одной окружности, которая является основанием конуса. Следовательно, четырехугольник в основании пирамиды $ABCD$ является вписанным в окружность.

Четырехгранный угол при вершине $S$ образован ребрами $SA, SB, SC, SD$ и плоскими углами между ними. Двугранные углы этого четырехгранного угла — это углы между смежными боковыми гранями пирамиды. Обозначим двугранные углы при ребрах $SA, SB, SC, SD$ как $\alpha_{SA}, \alpha_{SB}, \alpha_{SC}, \alpha_{SD}$ соответственно. Требуется доказать, что суммы противолежащих двугранных углов равны, то есть: $\alpha_{SA} + \alpha_{SC} = \alpha_{SB} + \alpha_{SD}$.

Для доказательства воспользуемся методом сферической геометрии. Построим сферу произвольного радиуса с центром в вершине пирамиды $S$. Пересечение этой сферы с боковыми гранями пирамиды образует на сфере сферический четырехугольник. Обозначим точки пересечения ребер $SA, SB, SC, SD$ со сферой как $A', B', C', D'$ соответственно.

Углы этого сферического четырехугольника $A'B'C'D'$ в его вершинах $A', B', C', D'$ равны соответствующим двугранным углам четырехгранного угла при вершине $S$. Таким образом, $\angle A' = \alpha_{SA}$, $\angle B' = \alpha_{SB}$, $\angle C' = \alpha_{SC}$, $\angle D' = \alpha_{SD}$. Наша задача сводится к доказательству равенства сумм противолежащих углов сферического четырехугольника: $\angle A' + \angle C' = \angle B' + \angle D'$.

В сферической геометрии известна теорема: сферический четырехугольник можно вписать в малую окружность на сфере тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих углов равны. Следовательно, для завершения доказательства нам достаточно показать, что сферический четырехугольник $A'B'C'D'$ является вписанным в малую окружность.

Вернемся к условию, что около пирамиды можно описать конус. Это означает, что ребра $SA, SB, SC, SD$ являются образующими некоторого кругового конуса (конуса вращения) с вершиной $S$. По определению, все образующие кругового конуса составляют одинаковый угол с его осью. Пусть $\ell$ — ось этого конуса, проходящая через вершину $S$, а $\theta$ — угол между осью и образующими. Тогда: $\angle(\ell, SA) = \angle(\ell, SB) = \angle(\ell, SC) = \angle(\ell, SD) = \theta$.

На нашей сфере с центром в $S$ это означает, что все вершины сферического четырехугольника $A', B', C', D'$ находятся на одинаковом сферическом расстоянии $\theta$ от точки $P$, в которой ось $\ell$ пересекает сферу. То есть, точки $A', B', C', D'$ лежат на одной малой окружности сферы с центром в $P$. Таким образом, сферический четырехугольник $A'B'C'D'$ является вписанным.

Применяя теорему о вписанном сферическом четырехугольнике, получаем: $\angle A' + \angle C' = \angle B' + \angle D'$. Подставляя значения двугранных углов, имеем: $\alpha_{SA} + \alpha_{SC} = \alpha_{SB} + \alpha_{SD}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

18.23. Повторите определение многоугольника, вписанного в окружность.

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Иными словами, окружность проходит через все вершины многоугольника. Такая окружность называется описанной около многоугольника. Центр описанной окружности — это точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника, и эта точка является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Ответ: Многоугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность.