Номер 18.18, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.18. Найдите радиус основания и высоту конуса, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны 1 см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ - квадратное основание.

Все ребра равны 1 см, т.е. сторона основания $a = AB = BC = CD = DA = 1$ см, и боковые ребра $l = SA = SB = SC = SD = 1$ см.

В пирамиду вписан конус.

Найти:

Радиус основания конуса $r$ и высоту конуса $h$.

Решение:

Поскольку конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду, их вершины совпадают, и их высоты равны. Основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (квадрат).

1. Найдем радиус основания конуса $r$.

Основание конуса — это окружность, вписанная в квадратное основание пирамиды. Сторона этого квадрата $a = 1$ см. Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.

Диаметр $d = a = 1$ см.

Радиус основания конуса равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

2. Найдем высоту конуса $h$.

Высота конуса $h$ совпадает с высотой пирамиды $H$. Пусть $O$ — центр квадрата $ABCD$ (точка пересечения диагоналей). Тогда $SO$ — высота пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOC$, где $S$ — вершина пирамиды, $O$ — центр основания, $C$ — вершина основания.

Катет $SO$ — это искомая высота $h$.

Гипотенуза $SC$ — это боковое ребро пирамиды, $SC = 1$ см.

Катет $OC$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Сначала найдем диагональ $AC$ по теореме Пифагора для треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$AC = \sqrt{2}$ см.

Тогда $OC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь по теореме Пифагора для треугольника $SOC$:

$SO^2 + OC^2 = SC^2$

$h^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1^2$

$h^2 + \frac{2}{4} = 1$

$h^2 + \frac{1}{2} = 1$

$h^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$h = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: радиус основания конуса равен $0.5$ см, высота конуса равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.