Номер 18.12, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.12. Найдите радиус основания и высоту цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, ребра которой равны 1 см.

Сделайте рисунок.

Дано:

Правильная шестиугольная призма.

Ребро основания призмы: $a = 1$ см.

Высота призмы (боковое ребро): $H_{призмы} = 1$ см.

В призму вписан цилиндр.

Найти:

Высоту цилиндра $h_{цил}$

Радиус основания цилиндра $r_{цил}$

Решение:

1. Нахождение высоты цилиндра

По определению, цилиндр, вписанный в призму, имеет высоту, равную высоте призмы. Основания цилиндра лежат в плоскостях оснований призмы.

Высота правильной призмы равна длине ее бокового ребра. Согласно условию, все ребра призмы равны 1 см.

Следовательно, высота цилиндра $h_{цил}$ равна высоте призмы:

$h_{цил} = H_{призмы} = 1$ см.

2. Нахождение радиуса основания цилиндра

Основание вписанного цилиндра — это окружность, вписанная в основание призмы, которое является правильным шестиугольником. Сторона этого шестиугольника $a = 1$ см.

Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен апофеме этого шестиугольника (расстоянию от центра до середины стороны).

Правильный шестиугольник можно разделить на 6 равносторонних треугольников, сторона каждого из которых равна стороне шестиугольника $a$. Радиус вписанной окружности $r_{цил}$ является высотой одного из этих равносторонних треугольников.

Найдем высоту $h_{\triangle}$ равностороннего треугольника со стороной $a = 1$ см по теореме Пифагора. Высота, проведенная к основанию, делит его на два равных отрезка по $a/2$.

$r_{цил}^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$

$r_{цил}^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

$r_{цил} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение $a = 1$ см:

$r_{цил} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

3. Рисунок

Для наглядности представим два вида: объемное изображение и вид сверху.

Объемное изображение: Изображается правильная шестиугольная призма. Ее основаниями являются два равных и параллельных правильных шестиугольника. Боковые грани – шесть равных прямоугольников, перпендикулярных основаниям. Внутри призмы располагается цилиндр. Его верхнее и нижнее основания (окружности) вписаны в шестиугольные основания призмы. Боковая поверхность цилиндра касается всех шести боковых граней призмы.

Вид сверху: Изображается правильный шестиугольник (основание призмы). В него вписана окружность (основание цилиндра). Радиус этой окружности $r_{цил}$ перпендикулярен одной из сторон шестиугольника и соединяет центр с точкой касания.

Ответ:

Радиус основания цилиндра $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см, высота цилиндра $h = 1$ см.