Номер 18.5, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.5. В каком случае в прямоугольный параллелепипед можно вписать цилиндр?

Решение

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями (длиной, шириной и высотой) $a, b, c$. Цилиндр считается вписанным в параллелепипед, если он касается всех шести его граней. Пусть радиус основания вписанного цилиндра равен $R$, а его высота равна $H$.

Условие касания всех шести граней можно разбить на два условия:

1. Касание оснований. Основания цилиндра должны касаться верхнего и нижнего оснований параллелепипеда. Это означает, что высота цилиндра $H$ должна быть равна высоте параллелепипеда $c$. Таким образом, $H = c$.

2. Касание боковых граней. Боковая поверхность цилиндра должна касаться четырех боковых граней параллелепипеда. Для этого необходимо, чтобы основание цилиндра (окружность) было вписано в основание параллелепипеда (прямоугольник со сторонами $a$ и $b$).

Окружность можно вписать в прямоугольник только в том случае, если этот прямоугольник является квадратом. Объясним почему. Пусть в прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ вписана окружность. Диаметр этой окружности, $D=2R$, должен быть равен расстоянию между парой параллельных сторон, то есть $D=a$. В то же время, он должен быть равен расстоянию и между другой парой параллельных сторон, то есть $D=b$. Отсюда следует, что $a = b$.

Следовательно, для того чтобы в прямоугольный параллелепипед можно было вписать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы его основание было квадратом. Такой параллелепипед также называют правильной четырехугольной призмой.

Ответ: В прямоугольный параллелепипед можно вписать цилиндр в том случае, если его основание является квадратом.