Номер 18.2, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.2. Можно ли вписать цилиндр в:

а) куб;

б) прямоугольный параллелепипед, грани которого отличны от квадратов;

в) наклонный параллелепипед;

г) прямую треугольную призму;

д) правильную $n$-угольную призму?

Для того чтобы в многогранник (в частности, в призму) можно было вписать цилиндр, необходимо выполнение двух условий:
1. Основания цилиндра (окружности) должны вписываться в два параллельных основания призмы. Это возможно только в том случае, если в основание призмы (многоугольник) можно вписать окружность.
2. Боковая поверхность цилиндра должна касаться всех боковых граней призмы. Это возможно, если призма является прямой (то есть её боковые рёбра перпендикулярны основаниям), а центр вписанной в основание окружности равноудалён от боковых граней.
Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) куб
Куб является прямой призмой, в основании которой лежит квадрат. В любой квадрат можно вписать окружность. Центр этой окружности будет совпадать с центром квадрата, а её радиус будет равен половине стороны квадрата. Боковые грани куба перпендикулярны основаниям. Следовательно, в куб можно вписать цилиндр. Основания цилиндра будут вписаны в две противоположные грани куба, а высота цилиндра будет равна ребру куба.
Ответ: Да, можно.

б) прямоугольный параллелепипед, грани которого отличны от квадратов
Прямоугольный параллелепипед является прямой призмой, в основании которой лежит прямоугольник. По условию, грани не являются квадратами, значит, и основания не являются квадратами. В многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ это условие выглядит как $a + a = b + b$, что эквивалентно $a = b$. То есть, окружность можно вписать только в тот прямоугольник, который является квадратом. Так как в основании лежит прямоугольник, не являющийся квадратом, в него нельзя вписать окружность. Следовательно, в такой прямоугольный параллелепипед нельзя вписать цилиндр.
Ответ: Нет, нельзя.

в) наклонный параллелепипед
Наклонный параллелепипед — это призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны плоскостям оснований. Чтобы в призму можно было вписать цилиндр, призма должна быть прямой. Ось вписанного цилиндра должна быть перпендикулярна его основаниям, а значит, и основаниям призмы. Боковая поверхность цилиндра состоит из образующих, параллельных его оси. В наклонной призме боковые грани "наклонены" по отношению к основаниям, поэтому условие касания боковой поверхности цилиндра всех боковых граней не может быть выполнено.
Ответ: Нет, нельзя.

г) прямую треугольную призму
Прямая треугольная призма является прямой призмой. Её основание — произвольный треугольник. В любой треугольник можно вписать окружность. Центр этой окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Так как призма прямая и в её основание можно вписать окружность, то в неё можно вписать цилиндр.
Ответ: Да, можно.

д) правильную n-угольную призму
Правильная n-угольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный n-угольник. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Центр этой окружности совпадает с центром многоугольника. Так как призма прямая и в её основание (правильный n-угольник) можно вписать окружность, то в такую призму можно вписать цилиндр.
Ответ: Да, можно.