Номер 18.3, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.3. Можно ли описать конус около правильной пирамиды?

18.4. Можно ли описать конус в правильную пирамиду?

Да, конус можно описать около любой правильной пирамиды.

Конус считается описанным около пирамиды, если их вершины совпадают, а основание пирамиды вписано в основание конуса (т.е. все вершины основания пирамиды лежат на окружности основания конуса).

Для того чтобы описать конус около правильной пирамиды, необходимо выполнение двух условий:

1. Вокруг основания пирамиды можно описать окружность. Основанием правильной пирамиды является правильный многоугольник. Вокруг любого правильного многоугольника всегда можно описать окружность. Эта окружность станет основанием описанного конуса.

2. Вершина пирамиды должна совпадать с вершиной конуса. В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, который также является центром описанной окружности. Если мы выберем эту же точку в качестве вершины конуса, то высота пирамиды и ось конуса совпадут.

Поскольку оба условия выполняются для любой правильной пирамиды, то около неё всегда можно описать конус. Вершина у них будет общей, а боковые ребра пирамиды станут образующими конуса.

Ответ:Да, можно.

18.4. Да, конус можно вписать в любую правильную пирамиду.

Конус считается вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, основание конуса вписано в основание пирамиды, а боковая поверхность конуса касается всех боковых граней пирамиды.

Для того чтобы вписать конус в правильную пирамиду, необходимо выполнение следующих условий:

1. В основание пирамиды можно вписать окружность. В основание правильной пирамиды, которым является правильный многоугольник, всегда можно вписать окружность. Эта окружность станет основанием вписанного конуса.

2. Вершины конуса и пирамиды совпадают. Как и в предыдущем случае, мы выбираем вершину правильной пирамиды в качестве вершины конуса.

3. Боковые грани пирамиды касаются боковой поверхности конуса. Апофема правильной пирамиды (высота боковой грани) опускается из вершины пирамиды в точку касания вписанной окружности со стороной основания. Эта апофема одновременно является и образующей вписанного конуса. Поскольку каждая боковая грань содержит такую образующую, она является касательной плоскостью к боковой поверхности конуса. Это справедливо для всех боковых граней в силу симметрии правильной пирамиды.

Все условия выполняются для любой правильной пирамиды, следовательно, в нее всегда можно вписать конус.

Ответ:Да, можно.