Номер 18, страница 112 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Найдите радиус сферы, вписанной в конус, осевым сечением которого является правильный треугольник со стороной равной 2 см:

A) 1 см;

B) $\sqrt{2}$ см;

C) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см;

D) $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Дано:

Конус, в который вписана сфера.

Осевое сечение конуса - правильный (равносторонний) треугольник.

Сторона треугольника $a = 2$ см.

Перевод в СИ:

Сторона треугольника $a = 0.02$ м.

Найти:

Радиус вписанной сферы, $r$.

Решение:

Осевое сечение конуса, в который вписана сфера, представляет собой равносторонний треугольник с вписанной в него окружностью. Радиус этой вписанной окружности равен радиусу $r$ вписанной в конус сферы.

По условию, осевое сечение является правильным треугольником со стороной $a = 2$ см.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, можно найти несколькими способами.

Способ 1: Через высоту треугольника

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности (инцентр) совпадает с точкой пересечения высот, медиан и биссектрис. Эта точка делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус вписанной окружности равен меньшей части, то есть одной трети высоты треугольника.

Сначала найдем высоту $h$ равностороннего треугольника со стороной $a = 2$ см. Формула высоты равностороннего треугольника:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны $a = 2$ см:

$h = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности $r$, который составляет $1/3$ от высоты:

$r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Способ 2: Через формулу площади

Радиус вписанной в любой треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Найдем полупериметр $p$ для нашего треугольника:

$p = \frac{a+a+a}{2} = \frac{3a}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ см.

Найдем площадь $S$ равностороннего треугольника по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 2$ см:

$S = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см$^2$.

Теперь вычислим радиус $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.