Номер 11, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Образующая усеченного конуса равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом 45°. Радиус большего основания усеченного конуса равен 2 см. Найдите радиус меньшего основания этого усеченного конуса:

A) 1 см;

B) $\sqrt{2}$ см;

C) $(2 - \frac{\sqrt{2}}{2})$ см;

D) $(2 - \sqrt{2})$ см.

Дано:

Образующая усеченного конуса $l = 2$ см

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 45^\circ$

Радиус большего основания $R = 2$ см

Все данные представлены в сантиметрах, перевод в систему СИ для решения задачи не требуется.

Найти:

Радиус меньшего основания $r$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию. Боковая сторона этой трапеции равна образующей конуса $l$, а основания трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$). Угол наклона образующей к плоскости основания — это угол между боковой стороной и большим основанием трапеции.

Проведем высоту из конца меньшего основания трапеции на большее основание. В результате мы получим прямоугольный треугольник, у которого:

- гипотенуза равна образующей $l = 2$ см;

- один из катетов равен разности радиусов оснований, то есть $R - r$;

- прилежащий к этому катету острый угол равен углу наклона образующей, то есть $\alpha = 45^\circ$.

В данном прямоугольном треугольнике можно использовать тригонометрическое соотношение для косинуса угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

$\cos(\alpha) = \frac{R-r}{l}$

Подставим в формулу известные нам значения: $R = 2$ см, $l = 2$ см, $\alpha = 45^\circ$.

$\cos(45^\circ) = \frac{2-r}{2}$

Известно, что значение $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в уравнение:

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2-r}{2}$

Для решения уравнения умножим обе его части на 2:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2-r$

$\sqrt{2} = 2-r$

Из этого уравнения выразим искомый радиус $r$:

$r = 2 - \sqrt{2}$

Таким образом, радиус меньшего основания усеченного конуса равен $(2 - \sqrt{2})$ см. Данный результат соответствует варианту D).

Ответ: $(2 - \sqrt{2})$ см.