Страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Радиус основания конуса равен 6 см, образующая равна 10 см.

Найдите высоту конуса:

А) 6 см;

В) $3\sqrt{2}$ см;

С) $6\sqrt{2}$ см;

D) 8 см.

Дано:

Радиус основания конуса, $r = 6$ см

Образующая конуса, $l = 10$ см

Перевод в систему СИ:

$r = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$l = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Высоту конуса, $h$

Решение:

Высота конуса ($h$), радиус его основания ($r$) и образующая ($l$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике образующая $l$ является гипотенузой, а высота $h$ и радиус $r$ — катетами.

Для нахождения высоты воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$l^2 = h^2 + r^2$

Из этой формулы выразим высоту $h$:

$h^2 = l^2 - r^2$

$h = \sqrt{l^2 - r^2}$

Подставим известные значения в формулу. Для удобства расчетов будем использовать исходные единицы измерения (сантиметры).

$h = \sqrt{10^2 - 6^2}$

$h = \sqrt{100 - 36}$

$h = \sqrt{64}$

$h = 8$ см

Таким образом, высота конуса равна 8 см. Это соответствует варианту ответа D.

Ответ: 8 см.

5. Образующая конуса равна 6 см и наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите радиус основания этого конуса:

A) 3 см;

B) $3\sqrt{2}$ см;

C) $3\sqrt{3}$ см;

D) 6 см.

Дано:

Образующая конуса $L = 6$ см

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 45^\circ$

Найти:

Радиус основания конуса $R$

Решение:

Высота конуса $H$, радиус его основания $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике образующая $L$ является гипотенузой, а высота $H$ и радиус $R$ — катетами.

Угол между образующей и плоскостью основания — это угол между гипотенузой $L$ и катетом $R$. По условию задачи, этот угол $\alpha$ равен $45^\circ$.

Для нахождения радиуса $R$, который является катетом, прилежащим к углу $\alpha$, можно использовать тригонометрическую функцию косинуса:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{R}{L}$

Отсюда выразим радиус $R$:

$R = L \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения в формулу: $L = 6$ см и $\alpha = 45^\circ$.

Значение косинуса $45^\circ$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$R = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$R = 3\sqrt{2}$ см.

Также можно отметить, что так как в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45^\circ$, то этот треугольник является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны: $H = R$. По теореме Пифагора $R^2 + H^2 = L^2$, следовательно, $2R^2 = L^2$. Подставив значение $L=6$, получим:

$2R^2 = 6^2$

$2R^2 = 36$

$R^2 = 18$

$R = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

6. Найдите площадь поверхности конуса, радиус основания которого равен 2 см, а образующая равна 3 см:

A) $6\pi \text{ см}^2$;

B) $8\pi \text{ см}^2$;

C) $10\pi \text{ см}^2$;

D) $12\pi \text{ см}^2$.

Дано:
Радиус основания конуса, $r = 2$ см
Образующая конуса, $l = 3$ см

Перевод в систему СИ:
$r = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$l = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:
Площадь полной поверхности конуса, $S_{полн}$

Решение:
Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) равна сумме площади его основания ($S_{осн}$) и площади его боковой поверхности ($S_{бок}$).

Формула для площади полной поверхности конуса:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Основанием конуса является круг, площадь которого вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \pi r^2$

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi r l$

Объединив эти две формулы, получаем общую формулу для площади полной поверхности конуса:
$S_{полн} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r+l)$

Подставим заданные значения в формулу. Расчеты проведем в сантиметрах, так как варианты ответа даны в см².
$r = 2$ см
$l = 3$ см

$S_{полн} = \pi \cdot 2^2 + \pi \cdot 2 \cdot 3 = 4\pi + 6\pi = 10\pi \text{ см}^2$

Также можно было сразу подставить значения в формулу $S_{полн} = \pi r(r+l)$:
$S_{полн} = \pi \cdot 2 \cdot (2 + 3) = \pi \cdot 2 \cdot 5 = 10\pi \text{ см}^2$

Полученный результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: $10\pi \text{ см}^2$.

7. Радиус основания конуса равен 2 см. Через середину высоты этого конуса проведена плоскость, параллельная плоскости основания.

Найдите площадь получившегося сечения:

A) $\pi$ см$^2$;

B) $2\pi$ см$^2$;

C) $3\pi$ см$^2$;

D) $4\pi$ см$^2$.

Дано:

Радиус основания конуса $R = 2$ см.

Секущая плоскость проведена через середину высоты конуса и параллельна его основанию.

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь получившегося сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Сечение конуса плоскостью, которая параллельна его основанию, является кругом. Эта плоскость отсекает от исходного конуса верхнюю часть, которая представляет собой меньший конус, подобный исходному.

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника равна высоте конуса $H$, а половина основания равна радиусу основания конуса $R$. Секущая плоскость в этом осевом сечении будет представлена отрезком, параллельным основанию треугольника.

Пусть $r$ — это радиус получившегося сечения, а $h$ — высота меньшего, отсечённого конуса. По условию задачи, секущая плоскость проведена через середину высоты исходного конуса, поэтому высота малого конуса составляет половину высоты большого:

$h = \frac{H}{2}$

Так как малый конус подобен большому, то их осевые сечения (треугольники) также подобны. Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. В частности, отношение радиусов оснований равно отношению высот:

$\frac{r}{R} = \frac{h}{H}$

Подставим в это соотношение $h = \frac{H}{2}$:

$\frac{r}{R} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$

Из этой пропорции мы можем выразить радиус сечения $r$:

$r = \frac{R}{2}$

Подставим известное из условия значение радиуса основания $R = 2$ см:

$r = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1 \text{ см}$

Теперь мы можем найти площадь сечения. Поскольку сечение является кругом с радиусом $r$, его площадь $S_{сеч}$ вычисляется по формуле площади круга:

$S_{сеч} = \pi r^2$

Подставим найденное значение радиуса $r = 1$ см в формулу:

$S_{сеч} = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 = \pi \text{ см}^2$

Ответ:

$\pi \text{ см}^2$.

8. Найдите площадь поверхности конуса, получающегося вращением равнобедренного треугольника, основание которого равно 2 см, а боковая сторона равна 4 см, вокруг прямой, содержащей его высоту, опущенную на основание:

А) $3\pi\text{ см}^2$; B) $4\pi\text{ см}^2$; C) $5\pi\text{ см}^2$; D) $6\pi\text{ см}^2$.

Дано:

Основание равнобедренного треугольника, $a = 2$ см
Боковая сторона равнобедренного треугольника, $l_{тр} = 4$ см

Найти:

Площадь полной поверхности конуса, $S_{полн}$

Решение:

При вращении равнобедренного треугольника вокруг его высоты, опущенной на основание, образуется конус. Параметры этого конуса связаны с параметрами треугольника следующим образом:

• Радиус основания конуса ($r$) равен половине длины основания треугольника.

• Образующая конуса ($l$) равна длине боковой стороны треугольника.

Найдем радиус основания конуса:

$r = \frac{a}{2} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1 \text{ см}$

Образующая конуса равна боковой стороне треугольника:

$l = l_{тр} = 4 \text{ см}$

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) равна сумме площади его основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

Формула площади основания конуса (круга):

$S_{осн} = \pi r^2$

Формула площади боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi r l$

Следовательно, формула площади полной поверхности конуса:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$

Подставим известные значения $r=1$ см и $l=4$ см в формулу:

$S_{полн} = \pi \cdot 1 \cdot (1 + 4) = \pi \cdot 5 = 5\pi \text{ см}^2$

Этот результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: $5\pi \text{ см}^2$.

9. Найдите площадь боковой поверхности конуса, получающегося вращением правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2 см, а боковые ребра равны 3 см, вокруг прямой, содержащей ее высоту:

A) $3\pi$ см$^2$;

B) $4\pi$ см$^2$;

C) $5\pi$ см$^2$;

D) $6\pi$ см$^2$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида
Сторона основания пирамиды, $a = 2$ см
Боковое ребро пирамиды, $s = 3$ см

Найти:

Площадь боковой поверхности конуса, $S_{бок}$

Решение:

Конус получается вращением правильной шестиугольной пирамиды вокруг ее высоты. При таком вращении боковые ребра пирамиды образуют боковую поверхность конуса, а основание пирамиды образует основание конуса.

1. Найдем образующую конуса ($l$). Образующая конуса равна боковому ребру пирамиды, так как именно боковые ребра "описывают" боковую поверхность конуса при вращении.

$l = s = 3$ см.

2. Найдем радиус основания конуса ($R$). Радиус основания конуса равен радиусу окружности, описанной около правильного шестиугольника, который лежит в основании пирамиды. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне.

$R = a = 2$ см.

3. Теперь можем найти площадь боковой поверхности конуса по формуле:

$S_{бок} = \pi R l$

Подставим найденные значения $R$ и $l$:

$S_{бок} = \pi \cdot 2 \cdot 3 = 6\pi$ см$^2$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту D).

Ответ: $6\pi$ см$^2$.

10. Радиусы оснований усеченного конуса равны 4 см и 1 см, высота равна 4 см. Найдите образующую усеченного конуса:

A) 3 см;

B) 4 см;

C) 5 см;

D) 6 см.

Дано:

Радиус большего основания усеченного конуса, $R = 4$ см

Радиус меньшего основания усеченного конуса, $r = 1$ см

Высота усеченного конуса, $h = 4$ см

$R = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$h = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Образующую усеченного конуса, $l$

Решение:

Образующую усеченного конуса $l$ можно найти, рассмотрев его осевое сечение. Осевое сечение усеченного конуса — это равнобедренная трапеция. Высота этой трапеции равна высоте конуса $h$, а основания равны диаметрам оснований конуса. Образующая $l$ является боковой стороной этой трапеции.

Для нахождения образующей $l$ воспользуемся прямоугольным треугольником, который образуется высотой конуса $h$, образующей $l$ и разностью радиусов оснований $(R-r)$. В этом треугольнике $h$ и $(R-r)$ являются катетами, а $l$ — гипотенузой.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Найдем разность радиусов:

$R - r = 4 - 1 = 3 \text{ см}$

Подставим известные значения в формулу:

$l^2 = 4^2 + 3^2$

$l^2 = 16 + 9$

$l^2 = 25$

$l = \sqrt{25}$

$l = 5 \text{ см}$

Таким образом, образующая усеченного конуса равна 5 см, что соответствует варианту C).

Ответ: 5 см.

11. Образующая усеченного конуса равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом 45°. Радиус большего основания усеченного конуса равен 2 см. Найдите радиус меньшего основания этого усеченного конуса:

A) 1 см;

B) $\sqrt{2}$ см;

C) $(2 - \frac{\sqrt{2}}{2})$ см;

D) $(2 - \sqrt{2})$ см.

Дано:

Образующая усеченного конуса $l = 2$ см

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 45^\circ$

Радиус большего основания $R = 2$ см

Все данные представлены в сантиметрах, перевод в систему СИ для решения задачи не требуется.

Найти:

Радиус меньшего основания $r$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию. Боковая сторона этой трапеции равна образующей конуса $l$, а основания трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$). Угол наклона образующей к плоскости основания — это угол между боковой стороной и большим основанием трапеции.

Проведем высоту из конца меньшего основания трапеции на большее основание. В результате мы получим прямоугольный треугольник, у которого:

- гипотенуза равна образующей $l = 2$ см;

- один из катетов равен разности радиусов оснований, то есть $R - r$;

- прилежащий к этому катету острый угол равен углу наклона образующей, то есть $\alpha = 45^\circ$.

В данном прямоугольном треугольнике можно использовать тригонометрическое соотношение для косинуса угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

$\cos(\alpha) = \frac{R-r}{l}$

Подставим в формулу известные нам значения: $R = 2$ см, $l = 2$ см, $\alpha = 45^\circ$.

$\cos(45^\circ) = \frac{2-r}{2}$

Известно, что значение $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в уравнение:

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2-r}{2}$

Для решения уравнения умножим обе его части на 2:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2-r$

$\sqrt{2} = 2-r$

Из этого уравнения выразим искомый радиус $r$:

$r = 2 - \sqrt{2}$

Таким образом, радиус меньшего основания усеченного конуса равен $(2 - \sqrt{2})$ см. Данный результат соответствует варианту D).

Ответ: $(2 - \sqrt{2})$ см.

12. Основания равнобедренной трапеции равны 2 см и 4 см, а боковые стороны равны 3 см. Найдите площадь поверхности вращения этой трапеции, вокруг прямой, проходящей через середины оснований:

A) $8\pi \text{ см}^2$;

B) $10\pi \text{ см}^2$;

C) $12\pi \text{ см}^2$;

D) $14\pi \text{ см}^2$.

Дано:

Равнобедренная трапеция

Большее основание $a = 4$ см

Меньшее основание $b = 2$ см

Боковая сторона $l = 3$ см

Ось вращения проходит через середины оснований.

Перевод в СИ:

$a = 0.04$ м

$b = 0.02$ м

$l = 0.03$ м

Найти:

Площадь поверхности вращения $S_{пов}$

Решение:

При вращении равнобедренной трапеции вокруг прямой, проходящей через середины ее оснований, образуется тело вращения, которое является усеченным конусом. Площадь поверхности этого тела состоит из площади боковой поверхности и площадей двух оснований (верхнего и нижнего).

Радиус большего основания усеченного конуса, $R$, равен половине большего основания трапеции:

$R = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Радиус меньшего основания усеченного конуса, $r$, равен половине меньшего основания трапеции:

$r = \frac{b}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Образующая усеченного конуса, $l$, равна длине боковой стороны трапеции:

$l = 3$ см.

Площадь полной поверхности усеченного конуса ($S_{пов}$) вычисляется по формуле:

$S_{пов} = S_{бок} + S_{верхн.осн.} + S_{нижн.осн.}$

Площадь боковой поверхности усеченного конуса находится по формуле:

$S_{бок} = \pi(R+r)l$

Подставим наши значения:

$S_{бок} = \pi(2+1) \cdot 3 = 3 \cdot 3 \pi = 9\pi$ см².

Площадь верхнего основания (круга) находится по формуле:

$S_{верхн.осн.} = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см².

Площадь нижнего основания (круга) находится по формуле:

$S_{нижн.осн.} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см².

Теперь найдем полную площадь поверхности, сложив все три площади:

$S_{пов} = 9\pi + \pi + 4\pi = 14\pi$ см².

Ответ: $14\pi$ см².