Страница 113 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что около прямой призмы можно описать цилиндр тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность.

Докажите, что в прямую призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность.

Докажите, что около прямой призмы можно описать цилиндр тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность.

Решение

Данное утверждение является критерием, поэтому для его доказательства необходимо рассмотреть две части: необходимость и достаточность.

1. Необходимость (прямое утверждение). Докажем, что если около прямой призмы можно описать цилиндр, то около ее основания можно описать окружность.

Пусть около прямой призмы описан цилиндр. По определению, цилиндр называется описанным около призмы, если основания призмы вписаны в основания цилиндра. Основания цилиндра — это два равных круга, лежащие в параллельных плоскостях. Если многоугольник (основание призмы) вписан в круг (основание цилиндра), то все его вершины лежат на окружности, ограничивающей этот круг. Следовательно, около основания призмы описана окружность. Это справедливо для обоих оснований призмы.

2. Достаточность (обратное утверждение). Докажем, что если около основания прямой призмы можно описать окружность, то около этой призмы можно описать цилиндр.

Пусть дана прямая призма высотой $H$, в основании которой лежит многоугольник, около которого можно описать окружность. Пусть эта окружность $\omega_1$ имеет центр в точке $O_1$ и радиус $R$. Она лежит в плоскости нижнего основания призмы $\alpha_1$.

Построим цилиндр со следующими характеристиками:

• Нижнее основание цилиндра — круг, ограниченный окружностью $\omega_1$.
• Высота цилиндра равна высоте призмы $H$.
• Ось цилиндра — прямая, проходящая через центр $O_1$ и перпендикулярная плоскости основания $\alpha_1$.

Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основанию, а значит, они параллельны построенной оси цилиндра. Верхнее основание призмы лежит в плоскости $\alpha_2$, параллельной $\alpha_1$ и находящейся на расстоянии $H$ от нее. Верхнее основание цилиндра будет кругом с центром $O_2$ (точка на оси на расстоянии $H$ от $O_1$) и радиусом $R$.

Так как все вершины нижнего основания призмы лежат на окружности $\omega_1$, а верхнее основание призмы получается из нижнего параллельным переносом на вектор, коллинеарный оси цилиндра, то все вершины верхнего основания призмы будут лежать на окружности $\omega_2$ верхнего основания цилиндра.

Таким образом, основания призмы вписаны в основания построенного цилиндра. Следовательно, цилиндр описан около прямой призмы. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение полностью доказано.

Докажите, что в прямую призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность.

Решение

Данное утверждение также является критерием, и его доказательство требует рассмотрения необходимости и достаточности.

1. Необходимость (прямое утверждение). Докажем, что если в прямую призму можно вписать цилиндр, то в ее основание можно вписать окружность.

Пусть в прямую призму вписан цилиндр. По определению, цилиндр называется вписанным в призму, если его основания вписаны в основания призмы, а боковая поверхность цилиндра касается всех боковых граней призмы. Если круг (основание цилиндра) вписан в многоугольник (основание призмы), это означает, что окружность, ограничивающая этот круг, касается всех сторон многоугольника. Следовательно, в основание призмы можно вписать окружность.

2. Достаточность (обратное утверждение). Докажем, что если в основание прямой призмы можно вписать окружность, то в эту призму можно вписать цилиндр.

Пусть дана прямая призма высотой $H$, в основание которой (многоугольник) можно вписать окружность. Пусть эта окружность $\omega_1$ имеет центр в точке $O_1$ и радиус $r$. Она лежит в плоскости нижнего основания призмы $\alpha_1$ и касается всех его сторон.

Построим цилиндр со следующими характеристиками:

• Нижнее основание цилиндра — круг, ограниченный окружностью $\omega_1$.
• Высота цилиндра равна высоте призмы $H$.
• Ось цилиндра — прямая, проходящая через центр $O_1$ и перпендикулярная плоскости основания $\alpha_1$.

Верхнее основание цилиндра будет кругом, вписанным в верхнее основание призмы. Основания построенного цилиндра вписаны в основания призмы. Теперь покажем, что боковая поверхность цилиндра касается боковых граней призмы.

Призма является прямой, поэтому ее боковые грани — это прямоугольники, перпендикулярные основаниям. Рассмотрим произвольную боковую грань. Она проходит через одну из сторон основания, например, сторону $a$. По условию, окружность $\omega_1$ касается этой стороны в некоторой точке $T$. Образующая цилиндра, проходящая через точку $T$, параллельна оси цилиндра. Так как и ось, и боковая грань перпендикулярны плоскости основания, эта образующая лежит в плоскости боковой грани. Эта образующая является общей для боковой поверхности цилиндра и боковой грани призмы, и все остальные точки цилиндра лежат по одну сторону от этой грани. Это означает, что боковая грань касается боковой поверхности цилиндра по этой образующей.

Поскольку это верно для каждой боковой грани, боковая поверхность цилиндра касается всех боковых граней призмы. Таким образом, построенный цилиндр вписан в прямую призму. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение полностью доказано.