Страница 119 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

19.4. Около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 1 дм, 2 дм и 2 дм, описана сфера. Найдите ее радиус.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед с ребрами:

$a = 1 \text{ дм}$

$b = 2 \text{ дм}$

$c = 2 \text{ дм}$

$a = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$
$b = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$
$c = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Центр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, находится в точке пересечения его диагоналей. Диаметр $D$ описанной сферы равен длине главной диагонали $d$ этого параллелепипеда.

Квадрат главной диагонали прямоугольного параллелепипеда находится по теореме Пифагора в пространстве и равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты):

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим в формулу заданные длины ребер:

$d^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9 \text{ (дм}^2\text{)}$

Теперь найдем длину диагонали $d$, извлекая квадратный корень:

$d = \sqrt{9} = 3 \text{ дм}$

Так как диаметр сферы равен диагонали параллелепипеда, то:

$D = d = 3 \text{ дм}$

Радиус $R$ сферы равен половине ее диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ дм}$

Ответ: 1,5 дм.

19.5. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 см и 4 см. Радиус описанной сферы равен 3 см. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины параллелепипеда.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед
Ребро $a = 2$ см
Ребро $b = 4$ см
Радиус описанной сферы $R = 3$ см

Поскольку все величины даны в сантиметрах, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Третье ребро $c$.

Решение:

Связь между радиусом $R$ описанной сферы и измерениями прямоугольного параллелепипеда (длинами ребер $a, b, c$, выходящих из одной вершины) определяется через его пространственную диагональ $d$.

Диаметр описанной сферы равен пространственной диагонали параллелепипеда.

Квадрат пространственной диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле, которая является обобщением теоремы Пифагора для трех измерений:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Диаметр сферы $D$ равен $2R$, и так как $D = d$, то $d = 2R$.

Возводя обе части равенства $d = 2R$ в квадрат, получаем $d^2 = (2R)^2 = 4R^2$.

Приравнивая два выражения для $d^2$, получаем основную формулу для решения задачи:

$4R^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Из этой формулы выразим искомое ребро $c$:

$c^2 = 4R^2 - a^2 - b^2$

Подставим в формулу известные значения из условия задачи: $a = 2$ см, $b = 4$ см, $R = 3$ см.

$c^2 = 4 \cdot (3)^2 - (2)^2 - (4)^2$

$c^2 = 4 \cdot 9 - 4 - 16$

$c^2 = 36 - 4 - 16$

$c^2 = 36 - 20$

$c^2 = 16$

Чтобы найти длину ребра $c$, извлечем квадратный корень из полученного значения. Поскольку длина ребра может быть только положительной величиной, выбираем арифметический корень.

$c = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: третье ребро, выходящее из той же вершины параллелепипеда, равно 4 см.

19.6. Приведите пример прямой призмы, около которой нельзя описать сферу.

Решение

Сферу можно описать около прямой призмы тогда и только тогда, когда около её основания можно описать окружность.

Это следует из того, что если сфера описана, то все вершины призмы должны быть равноудалены от центра сферы. В частности, все вершины одного основания (лежащие в одной плоскости) должны быть равноудалены от центра сферы, а значит, они должны лежать на одной окружности. Таким образом, основание призмы должно быть многоугольником, вокруг которого можно описать окружность.

И наоборот, если около основания прямой призмы можно описать окружность, то центр сферы будет находиться на середине отрезка, соединяющего центры описанных окружностей оснований.

Следовательно, чтобы привести пример прямой призмы, около которой нельзя описать сферу, достаточно выбрать в качестве её основания многоугольник, около которого нельзя описать окружность.

Известно, что окружность можно описать около четырёхугольника только в том случае, если сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

Возьмём в качестве примера такого многоугольника ромб, который не является квадратом. Например, ромб с углами $60^\circ$ и $120^\circ$. В этом ромбе суммы противолежащих углов равны $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$ и $120^\circ + 120^\circ = 240^\circ$. Так как эти суммы не равны $180^\circ$, около такого ромба нельзя описать окружность.

Таким образом, прямая призма, основанием которой является ромб, не являющийся квадратом, служит искомым примером.

Ответ: Прямая призма, в основании которой лежит ромб, не являющийся квадратом (например, прямая призма с ромбом в основании, углы которого равны $60^\circ$ и $120^\circ$).

19.7. Всегда ли центр сферы, описанной около призмы, лежит внутри призмы?

19.8. Призма имеет правильный треугольник...

Нет, не всегда. Центр сферы, описанной около призмы, может лежать как внутри, так и вне призмы. Рассмотрим условия, при которых это возможно.

Сферу можно описать около призмы тогда и только тогда, когда призма является прямой, а ее основание — вписанный многоугольник (то есть многоугольник, около которого можно описать окружность).

Пусть дана прямая призма, у которой основаниями являются конгруэнтные вписанные многоугольники. Пусть $O_1$ — центр окружности, описанной около нижнего основания, а $O_2$ — центр окружности, описанной около верхнего основания. Так как призма прямая, отрезок $O_1O_2$ перпендикулярен плоскостям оснований, и его длина равна высоте призмы $h$.

Центр $O$ описанной сферы должен быть равноудален от всех вершин призмы. Из соображений симметрии очевидно, что центр сферы $O$ будет лежать на середине отрезка $O_1O_2$.

Таким образом, положение центра сферы $O$ относительно призмы полностью определяется положением центров $O_1$ и $O_2$ относительно оснований призмы. Если центры $O_1$ и $O_2$ лежат внутри многоугольников-оснований, то и весь отрезок $O_1O_2$, а значит, и центр сферы $O$, будет лежать внутри призмы.

Однако центр окружности, описанной около многоугольника, не всегда лежит внутри этого многоугольника. Рассмотрим в качестве контрпримера прямую призму, в основании которой лежит тупоугольный треугольник.

Любой треугольник является вписанным многоугольником, поэтому около прямой треугольной призмы всегда можно описать сферу. Но известно, что центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, находится вне этого треугольника.

Следовательно, для прямой призмы, в основании которой лежит тупоугольный треугольник, центры $O_1$ и $O_2$ описанных окружностей оснований будут лежать вне этих оснований. Отрезок $O_1O_2$, соединяющий эти центры, будет проходить вне призмы. А поскольку центр сферы $O$ является серединой этого отрезка, он также будет находиться вне призмы.

Ответ: Нет, не всегда. Например, у прямой призмы, основанием которой является тупоугольный треугольник, центр описанной сферы лежит вне призмы.

19.8. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 1 см, высота равна 2 см (рис. 19.5). Найдите радиус описанной сферы.

$O_b$

$O$

$R$

$R_1$

$O_1$

Рис. 19.5

Дано:

Правильная треугольная призма

Сторона основания, $a = 1$ см

Высота, $h = 2$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м
$h = 0.02$ м

Найти:

Радиус описанной сферы, $R$

Решение:

Для прямой призмы, в которую можно вписать сферу, радиус сферы $R$ связан с высотой призмы $h$ и радиусом $r$ окружности, описанной вокруг основания, по формуле, основанной на теореме Пифагора. Центр описанной сферы $O$ находится на середине высоты призмы, проходящей через центры $O_1$ и $O_2$ описанных окружностей оснований. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (гипотенуза), половиной высоты призмы $\frac{h}{2}$ (катет) и радиусом $r$ описанной окружности основания (катет).

Таким образом, верно соотношение:

$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

1. Сначала найдем радиус $r$ окружности, описанной вокруг основания. Основанием является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 1$ см. Формула для радиуса описанной окружности равностороннего треугольника:

$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставляем значение $a = 1$ см:

$r = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

2. Найдем половину высоты призмы:

$\frac{h}{2} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1$ см.

3. Теперь подставим вычисленные значения $r$ и $\frac{h}{2}$ в формулу для $R^2$:

$R^2 = (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 1^2$

$R^2 = \frac{3}{9} + 1$

$R^2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$

4. Найдем радиус $R$, извлекая квадратный корень из полученного значения:

$R = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе:

$R = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $R = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

19.9. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 1 см. Высота призмы равна 2 см. Найдите радиус описанной сферы (рис. 19.6).

$O_1$ $O_2$ $O$ $R$

Рис. 19.6

Дано:

Правильная шестиугольная призма

Сторона основания $a = 1$ см

Высота призмы $h = 2$ см

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Для того чтобы найти радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной призмы, воспользуемся связью между радиусом сферы $R$, радиусом окружности, описанной около основания призмы, $r$ и высотой призмы $h$.

Центр описанной сферы $O$ совпадает с центром симметрии призмы и находится на середине её высоты. Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются центр сферы $O$, центр одного из оснований (например, верхнего) $O_2$ и любая вершина этого основания $A$.

В этом треугольнике $OO_2A$:

• Гипотенуза $OA$ равна радиусу описанной сферы $R$.

• Один катет $OO_2$ равен половине высоты призмы, то есть $\frac{h}{2}$.

• Второй катет $O_2A$ равен радиусу $r$ окружности, описанной около шестиугольного основания.

По теореме Пифагора для этого треугольника имеем:

$R^2 = (O_2A)^2 + (OO_2)^2$

$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

1. Найдем радиус $r$ окружности, описанной около основания. Основанием является правильный шестиугольник со стороной $a = 1$ см. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне.

$r = a = 1$ см.

2. Найдем половину высоты призмы. Высота $h = 2$ см.

$\frac{h}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

3. Подставим найденные значения в формулу Пифагора:

$R^2 = 1^2 + 1^2$

$R^2 = 1 + 1 = 2$

$R = \sqrt{2}$ см.

Ответ: $\sqrt{2}$ см.

19.10. При каком условии центр сферы, описанной около прямой тре-угольной призмы, будет находиться:

а) внутри призмы;

б) на одной из боковых граней призмы;

в) вне призмы?

Решение

Для того чтобы около прямой призмы можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы около ее основания можно было описать окружность. Так как в основании призмы лежит треугольник, а около любого треугольника можно описать окружность, то около любой прямой треугольной призмы можно описать сферу.

Центр $O$ сферы, описанной около прямой призмы, лежит на середине отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы. Пусть основания призмы — треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Пусть $O_{ABC}$ и $O_{A_1B_1C_1}$ — центры описанных около них окружностей. Тогда центр сферы $O$ — это середина отрезка $O_{ABC}O_{A_1B_1C_1}$.

Поскольку призма прямая, отрезок $O_{ABC}O_{A_1B_1C_1}$ перпендикулярен плоскостям оснований. Это означает, что положение центра сферы $O$ относительно призмы (внутри, на боковой грани или вне) определяется положением центра описанной окружности основания $O_{ABC}$ относительно самого треугольника-основания $ABC$.

а) внутри призмы

Центр сферы будет находиться внутри призмы тогда и только тогда, когда его проекция на плоскость основания, то есть центр $O_{ABC}$ описанной около основания окружности, будет находиться внутри треугольника $ABC$. Это условие выполняется, если треугольник $ABC$ является остроугольным.

Ответ: Центр сферы находится внутри призмы, если треугольник в ее основании является остроугольным.

б) на одной из боковых граней призмы

Центр сферы будет находиться на одной из боковых граней призмы тогда и только тогда, когда центр $O_{ABC}$ описанной около основания окружности, будет лежать на одной из сторон треугольника $ABC$. Это условие выполняется, если треугольник $ABC$ является прямоугольным. В этом случае центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. Боковая грань, на которой будет лежать центр сферы, — это та, которая построена на гипотенузе основания.

Ответ: Центр сферы находится на одной из боковых граней призмы, если треугольник в ее основании является прямоугольным.

в) вне призмы

Центр сферы будет находиться вне призмы тогда и только тогда, когда центр $O_{ABC}$ описанной около основания окружности, будет находиться вне треугольника $ABC$. Это условие выполняется, если треугольник $ABC$ является тупоугольным.

Ответ: Центр сферы находится вне призмы, если треугольник в ее основании является тупоугольным.

19.11. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см. Высота призмы 24 см. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:

Основание прямой призмы - треугольник со сторонами $a=6$ см, $b=8$ см, $c=10$ см.
Высота призмы $H = 24$ см.

$a = 0.06$ м
$b = 0.08$ м
$c = 0.1$ м
$H = 0.24$ м

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Сначала определим вид треугольника, лежащего в основании призмы. Для этого проверим, выполняется ли для его сторон ($a=6$ см, $b=8$ см и $c=10$ см) обратная теорема Пифагора.
$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$c^2 = 10^2 = 100$
Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник в основании является прямоугольным, а сторона $c$ – его гипотенуза.

Радиус $r$ окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы.
$r = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Центр сферы, описанной около прямой призмы, находится на середине высоты, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований. Радиус описанной сферы $R$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются радиус описанной окружности основания $r$ и половина высоты призмы $\frac{H}{2}$, а гипотенузой — сам радиус сферы $R$.
Формула для радиуса описанной сферы:
$R^2 = r^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$
Высота призмы $H = 24$ см, следовательно, половина высоты равна $\frac{H}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.
Подставим известные значения в формулу:
$R^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$R = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

19.12. Около правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна 1 см, описана сфера радиусом 1 см. Найдите высоту призмы.

Дано

Призма - правильная треугольная.
Сторона основания призмы, $a = 1$ см.
Радиус описанной сферы, $R_{сф} = 1$ см.

$a = 0.01$ м
$R_{сф} = 0.01$ м

Найти:

Высоту призмы, $H$.

Решение

Поскольку сфера описана около правильной призмы, её центр $O$ лежит на оси призмы (прямой, соединяющей центры оснований) и равноудалён от всех вершин призмы. Это означает, что центр сферы находится точно посередине высоты призмы.

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник. Найдём радиус $r_{осн}$ окружности, описанной около этого треугольника. Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

$r_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны основания $a = 1$ см:

$r_{осн} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются половина высоты призмы $(\frac{H}{2})$ и радиус окружности, описанной около основания $(r_{осн})$, а гипотенузой — радиус описанной сферы $(R_{сф})$. Этот треугольник образован центром сферы $O$, центром основания призмы (например, $O_{осн}$) и одной из вершин этого основания (например, $A$).

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle A O_{осн} O$:

$(R_{сф})^2 = (r_{осн})^2 + (\frac{H}{2})^2$

Подставим известные значения $R_{сф} = 1$ см и $r_{осн} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см в уравнение:

$1^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$

$1 = \frac{1}{3} + \frac{H^2}{4}$

Теперь решим это уравнение относительно $H$:

$\frac{H^2}{4} = 1 - \frac{1}{3}$

$\frac{H^2}{4} = \frac{2}{3}$

$H^2 = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

$H = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$H = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ см.

призмы.

19.13. Основанием призмы является прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см. Радиус описанной сферы равен 2 см. Найдите высоту призмы.

Дано:

Призма, основанием которой является прямоугольник со сторонами $a$ и $b$.

$a = 1 \text{ см}$

$b = 2 \text{ см}$

Радиус описанной сферы $R = 2 \text{ см}$.

Перевод в систему СИ:

$a = 0.01 \text{ м}$

$b = 0.02 \text{ м}$

$R = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Высоту призмы $h$.

Решение:

Если вокруг призмы можно описать сферу, то призма является прямой. В данном случае основанием является прямоугольник, следовательно, призма представляет собой прямоугольный параллелепипед. Все вершины прямоугольного параллелепипеда лежат на поверхности описанной сферы.

Центр описанной сферы совпадает с центром симметрии прямоугольного параллелепипеда – точкой пересечения его пространственных диагоналей. Диаметр сферы $D$ равен длине пространственной диагонали $d$ этого параллелепипеда.

$d = D = 2R$

Квадрат длины пространственной диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). Обозначим высоту призмы (третье измерение) как $h$.

$d^2 = a^2 + b^2 + h^2$

Так как $d = 2R$, то можем записать:

$(2R)^2 = a^2 + b^2 + h^2$

$4R^2 = a^2 + b^2 + h^2$

Из этого уравнения выразим квадрат высоты $h^2$:

$h^2 = 4R^2 - a^2 - b^2$

Подставим числовые значения из условия задачи (для удобства вычислений используем сантиметры):

$h^2 = 4 \cdot (2)^2 - (1)^2 - (2)^2$

$h^2 = 4 \cdot 4 - 1 - 4$

$h^2 = 16 - 1 - 4$

$h^2 = 11$

Тогда высота призмы $h$ равна:

$h = \sqrt{11} \text{ см}$

Ответ: $\sqrt{11} \text{ см}$.

19.14. Докажите, что если около четырехугольной призмы можно описать сферу, то суммы противолежащих двугранных углов при боковых ребрах этой призмы равны.

Решение

Пусть дана четырехугольная призма, около которой описана сфера. Обозначим призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — основания. То, что сфера описана около призмы, означает, что все восемь вершин призмы лежат на этой сфере.

1. Сначала докажем, что такая призма является прямой. Если все вершины призмы лежат на сфере с центром $O$, то основания призмы $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ лежат в плоскостях, пересекающих сферу. Сечениями сферы являются окружности. Следовательно, основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются четырехугольниками, вписанными в окружности. Проекция центра сферы $O$ на плоскость основания $ABCD$ является центром описанной около $ABCD$ окружности. Обозначим этот центр $O_1$. Аналогично, проекция $O$ на плоскость $A_1B_1C_1D_1$ является центром описанной около $A_1B_1C_1D_1$ окружности, обозначим его $O_2$. Прямая $O_1O_2$ проходит через центр сферы $O$ и перпендикулярна обеим плоскостям оснований. Поскольку призма — это результат параллельного переноса основания $ABCD$ вдоль боковых ребер, вектор переноса $\vec{AA_1}$ переводит $O_1$ в $O_2$. Значит, боковые ребра призмы параллельны отрезку $O_1O_2$. Так как прямая $O_1O_2$ перпендикулярна плоскостям оснований, то и боковые ребра призмы, будучи ей параллельными, также перпендикулярны плоскостям оснований. Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, называется прямой.

2. Теперь определим двугранные углы при боковых ребрах. Двугранный угол при боковом ребре, например, при ребре $AA_1$, образован двумя смежными боковыми гранями $AA_1B_1B$ и $AA_1D_1D$. Так как призма прямая, ее боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Следовательно, $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AD$. Линейным углом двугранного угла является угол между лучами, проведенными в его гранях перпендикулярно ребру из одной точки. В нашем случае, $AB$ и $AD$ перпендикулярны ребру $AA_1$. Значит, угол $\angle DAB$ (внутренний угол основания) является линейной мерой двугранного угла при ребре $AA_1$. Аналогично, двугранные углы при боковых ребрах $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ равны соответственно углам $\angle ABC$, $\angle BCD$ и $\angle CDA$ четырехугольника в основании.

3. Докажем равенство сумм противолежащих двугранных углов. Пусть $\alpha_A, \alpha_B, \alpha_C, \alpha_D$ — величины двугранных углов при боковых ребрах, проходящих через вершины $A, B, C, D$ соответственно. Из предыдущего пункта мы имеем: $\alpha_A = \angle A$, $\alpha_B = \angle B$, $\alpha_C = \angle C$, $\alpha_D = \angle D$. Требуется доказать, что $\alpha_A + \alpha_C = \alpha_B + \alpha_D$. Это равносильно доказательству равенства $\angle A + \angle C = \angle B + \angle D$ для четырехугольника в основании $ABCD$. Как мы установили в п.1, основание $ABCD$ является четырехугольником, вписанным в окружность. Для любого вписанного (циклического) четырехугольника сумма противолежащих углов равна $180^\circ$. То есть: $\angle A + \angle C = 180^\circ$ $\angle B + \angle D = 180^\circ$ Следовательно, $\angle A + \angle C = \angle B + \angle D$. Таким образом, $\alpha_A + \alpha_C = \alpha_B + \alpha_D$, что и требовалось доказать.

Ответ: Если около четырехугольной призмы можно описать сферу, то такая призма является прямой, а ее основания — вписанными четырехугольниками. Двугранные углы при боковых ребрах такой призмы равны соответствующим углам четырехугольника в основании. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$. Поэтому суммы противолежащих двугранных углов при боковых ребрах призмы также равны $180^\circ$, а значит, равны между собой.