Номер 19.8, страница 119 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

19.8. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 1 см, высота равна 2 см (рис. 19.5). Найдите радиус описанной сферы.

$O_b$

$O$

$R$

$R_1$

$O_1$

Рис. 19.5

Дано:

Правильная треугольная призма

Сторона основания, $a = 1$ см

Высота, $h = 2$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м
$h = 0.02$ м

Найти:

Радиус описанной сферы, $R$

Решение:

Для прямой призмы, в которую можно вписать сферу, радиус сферы $R$ связан с высотой призмы $h$ и радиусом $r$ окружности, описанной вокруг основания, по формуле, основанной на теореме Пифагора. Центр описанной сферы $O$ находится на середине высоты призмы, проходящей через центры $O_1$ и $O_2$ описанных окружностей оснований. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (гипотенуза), половиной высоты призмы $\frac{h}{2}$ (катет) и радиусом $r$ описанной окружности основания (катет).

Таким образом, верно соотношение:

$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

1. Сначала найдем радиус $r$ окружности, описанной вокруг основания. Основанием является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 1$ см. Формула для радиуса описанной окружности равностороннего треугольника:

$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставляем значение $a = 1$ см:

$r = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

2. Найдем половину высоты призмы:

$\frac{h}{2} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1$ см.

3. Теперь подставим вычисленные значения $r$ и $\frac{h}{2}$ в формулу для $R^2$:

$R^2 = (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 1^2$

$R^2 = \frac{3}{9} + 1$

$R^2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$

4. Найдем радиус $R$, извлекая квадратный корень из полученного значения:

$R = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе:

$R = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $R = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.