Номер 19.6, страница 119 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

19.6. Приведите пример прямой призмы, около которой нельзя описать сферу.

Решение

Сферу можно описать около прямой призмы тогда и только тогда, когда около её основания можно описать окружность.

Это следует из того, что если сфера описана, то все вершины призмы должны быть равноудалены от центра сферы. В частности, все вершины одного основания (лежащие в одной плоскости) должны быть равноудалены от центра сферы, а значит, они должны лежать на одной окружности. Таким образом, основание призмы должно быть многоугольником, вокруг которого можно описать окружность.

И наоборот, если около основания прямой призмы можно описать окружность, то центр сферы будет находиться на середине отрезка, соединяющего центры описанных окружностей оснований.

Следовательно, чтобы привести пример прямой призмы, около которой нельзя описать сферу, достаточно выбрать в качестве её основания многоугольник, около которого нельзя описать окружность.

Известно, что окружность можно описать около четырёхугольника только в том случае, если сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

Возьмём в качестве примера такого многоугольника ромб, который не является квадратом. Например, ромб с углами $60^\circ$ и $120^\circ$. В этом ромбе суммы противолежащих углов равны $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$ и $120^\circ + 120^\circ = 240^\circ$. Так как эти суммы не равны $180^\circ$, около такого ромба нельзя описать окружность.

Таким образом, прямая призма, основанием которой является ромб, не являющийся квадратом, служит искомым примером.

Ответ: Прямая призма, в основании которой лежит ромб, не являющийся квадратом (например, прямая призма с ромбом в основании, углы которого равны $60^\circ$ и $120^\circ$).