Номер 19.1, страница 118 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

19.1. Можно ли описать сферу около:

а) куба;

б) прямоугольного параллелепипеда;

в) параллелепипеда, одной из граней которого является параллелограмм, отличный от прямоугольника?

Решение

Сфера может быть описана около многогранника тогда и только тогда, когда существует точка, равноудаленная от всех вершин этого многогранника. Эта точка является центром описанной сферы, а расстояние от центра до любой вершины — ее радиусом.

а) Да, можно. Куб является частным случаем прямоугольного параллелепипеда и имеет центр симметрии — точку пересечения его пространственных диагоналей. Эта точка равноудалена от всех восьми вершин куба. Если ребро куба равно $a$, то длина его пространственной диагонали равна $d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$. Радиус описанной сферы $R$ будет равен половине длины этой диагонали: $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Так как такая точка (центр сферы) существует, то около куба можно описать сферу.
Ответ: да, можно.

б) Да, можно. Прямоугольный параллелепипед обладает центром симметрии, который находится в точке пересечения его пространственных диагоналей. Эта точка равноудалена от всех вершин. Если измерения параллелепипеда равны $a, b, c$, то квадрат длины его пространственной диагонали равен сумме квадратов его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Все пространственные диагонали равны и пересекаются в одной точке, делясь ею пополам. Расстояние от этой точки до любой вершины равно $R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}$. Это и будет радиус описанной сферы. Следовательно, около любого прямоугольного параллелепипеда можно описать сферу.
Ответ: да, можно.

в) Нет, нельзя. Необходимым условием для того, чтобы около многогранника можно было описать сферу, является возможность описать окружность около каждой его грани. Грани параллелепипеда являются параллелограммами. Окружность можно описать около четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. В параллелограмме противоположные углы равны. Если у параллелограмма с углами $\alpha$ и $\beta$ можно описать окружность, то должно выполняться условие $\alpha + \alpha = 180^\circ$, что приводит к $\alpha = 90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. По условию, одна из граней — это параллелограмм, отличный от прямоугольника, значит, его углы не равны $90^\circ$. Таким образом, около этой грани нельзя описать окружность. А если вершины одной грани не лежат на одной окружности, они не могут лежать и на одной сфере. Следовательно, описать сферу около такого параллелепипеда невозможно.
Ответ: нет, нельзя.