Страница 118 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Приведите пример призмы, около которой нельзя описать сферу.

Для того чтобы около призмы можно было описать сферу, необходимо и достаточно выполнение двух условий одновременно:
1. Призма должна быть прямой (т.е. её боковые рёбра перпендикулярны основаниям).
2. Около основания призмы должна описываться окружность.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то описать сферу около призмы невозможно. Таким образом, для примера достаточно взять призму, которая не удовлетворяет одному из этих критериев.

Решение

Рассмотрим пример призмы, которая нарушает второе условие: прямая призма, в основании которой лежит ромб, не являющийся квадратом.

Пусть дана прямая призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которой лежит ромб $ABCD$.

Предположим, что около этой призмы можно описать сферу. Это означает, что все вершины призмы ($A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1$) должны лежать на поверхности этой сферы. В частности, все вершины нижнего основания $A, B, C, D$ должны лежать на сфере.

Когда плоскость (в данном случае плоскость основания $ABC$) пересекает сферу, в сечении образуется окружность. Следовательно, все четыре вершины основания $A, B, C, D$ должны лежать на этой окружности. Это означает, что около ромба $ABCD$ можно описать окружность.

Из планиметрии известно, что окружность можно описать около выпуклого четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

У ромба, как у любого параллелограмма, противоположные углы равны. Обозначим их: $\angle A = \angle C = \alpha$ и $\angle B = \angle D = \beta$.

Для того чтобы ромб был вписан в окружность, должно выполняться равенство:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
Подставив равные углы, получаем:
$\alpha + \alpha = 180^\circ \implies 2\alpha = 180^\circ \implies \alpha = 90^\circ$.

Если угол ромба равен $90^\circ$, то все его углы прямые, и такой ромб является квадратом. Однако мы выбрали для примера ромб, который не является квадратом. Следовательно, его углы не равны $90^\circ$, и условие вписанности в окружность для него не выполняется.

Таким образом, мы пришли к противоречию: наше предположение о возможности описать сферу привело к выводу, что около основания-ромба можно описать окружность, что неверно. Следовательно, около прямой призмы, основанием которой является ромб (не квадрат), нельзя описать сферу.

Другим простым примером является любая наклонная призма (нарушение первого условия). Даже если ее основание — многоугольник, который можно вписать в окружность (например, треугольник), центры описанных окружностей оснований не лежат на общем перпендикуляре к плоскостям оснований, что делает невозможным существование центра сферы, равноудаленного от всех вершин.

Ответ: Примером призмы, около которой нельзя описать сферу, является любая наклонная призма или любая прямая призма, в основании которой лежит многоугольник, около которого нельзя описать окружность (например, прямая призма с основанием в виде ромба, не являющегося квадратом).

Вопросы

1. Какой многогранник называется вписанным в сферу?

2. Какая сфера называется описанной около многогранника?

3. Можно ли описать сферу около прямоугольного параллелепипеда?

4. Где находится центр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда?

5. Около какой прямой призмы можно описать сферу?

Какой многогранник называется вписанным в сферу?

Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на поверхности этой сферы. Такую сферу, в свою очередь, называют описанной около многогранника.

Ответ: многогранник, все вершины которого принадлежат сфере.

2. Какая сфера называется описанной около многогранника?

Сфера называется описанной около многогранника, если она проходит через все вершины этого многогранника. Это означает, что все вершины многогранника лежат на поверхности данной сферы, а сам многогранник находится внутри сферы.

Ответ: сфера, проходящая через все вершины многогранника.

3. Можно ли описать сферу около прямоугольного параллелепипеда?

Да, около любого прямоугольного параллелепипеда можно описать сферу. Условием для этого является существование точки, равноудаленной от всех вершин многогранника. У прямоугольного параллелепипеда такая точка есть — это точка пересечения его диагоналей. Расстояние от этой точки до любой из вершин одинаково и равно половине длины диагонали параллелепипеда. Если измерения параллелепипеда равны $a, b, c$, то квадрат его диагонали $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$, а радиус описанной сферы $R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}$.

Ответ: да, можно.

4. Где находится центр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда?

Центр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, совпадает с его центром симметрии. Эта точка является точкой пересечения всех четырех пространственных диагоналей параллелепипеда, а также серединой каждой из них. Таким образом, эта точка равноудалена от всех восьми вершин параллелепипеда.

Ответ: в точке пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда (в его центре симметрии).

5. Около какой прямой призмы можно описать сферу?

Сферу можно описать около прямой призмы тогда и только тогда, когда около многоугольника, лежащего в её основании, можно описать окружность. Если это условие выполнено, то центр описанной сферы будет находиться на середине отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около верхнего и нижнего оснований призмы. Этот отрезок является высотой призмы, проходящей через центры оснований. Если же около основания призмы нельзя описать окружность, то и описать сферу около такой прямой призмы невозможно.

Ответ: около такой прямой призмы, в основании которой лежит многоугольник, около которого можно описать окружность.

19.1. Можно ли описать сферу около:

а) куба;

б) прямоугольного параллелепипеда;

в) параллелепипеда, одной из граней которого является параллелограмм, отличный от прямоугольника?

Решение

Сфера может быть описана около многогранника тогда и только тогда, когда существует точка, равноудаленная от всех вершин этого многогранника. Эта точка является центром описанной сферы, а расстояние от центра до любой вершины — ее радиусом.

а) Да, можно. Куб является частным случаем прямоугольного параллелепипеда и имеет центр симметрии — точку пересечения его пространственных диагоналей. Эта точка равноудалена от всех восьми вершин куба. Если ребро куба равно $a$, то длина его пространственной диагонали равна $d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$. Радиус описанной сферы $R$ будет равен половине длины этой диагонали: $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Так как такая точка (центр сферы) существует, то около куба можно описать сферу.
Ответ: да, можно.

б) Да, можно. Прямоугольный параллелепипед обладает центром симметрии, который находится в точке пересечения его пространственных диагоналей. Эта точка равноудалена от всех вершин. Если измерения параллелепипеда равны $a, b, c$, то квадрат длины его пространственной диагонали равен сумме квадратов его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Все пространственные диагонали равны и пересекаются в одной точке, делясь ею пополам. Расстояние от этой точки до любой вершины равно $R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}$. Это и будет радиус описанной сферы. Следовательно, около любого прямоугольного параллелепипеда можно описать сферу.
Ответ: да, можно.

в) Нет, нельзя. Необходимым условием для того, чтобы около многогранника можно было описать сферу, является возможность описать окружность около каждой его грани. Грани параллелепипеда являются параллелограммами. Окружность можно описать около четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. В параллелограмме противоположные углы равны. Если у параллелограмма с углами $\alpha$ и $\beta$ можно описать окружность, то должно выполняться условие $\alpha + \alpha = 180^\circ$, что приводит к $\alpha = 90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. По условию, одна из граней — это параллелограмм, отличный от прямоугольника, значит, его углы не равны $90^\circ$. Таким образом, около этой грани нельзя описать окружность. А если вершины одной грани не лежат на одной окружности, они не могут лежать и на одной сфере. Следовательно, описать сферу около такого параллелепипеда невозможно.
Ответ: нет, нельзя.

19.2. Найдите радиус сферы, описанной около единичного куба.

19.3. Найдите ребро куба, описанного около сферы радиусом $R=1$.

Дано:

Единичный куб.

Сторона куба $a = 1$.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Сфера, описанная около куба, проходит через все его восемь вершин. Центр такой сферы совпадает с центром куба (точкой пересечения его диагоналей). Диаметр описанной сферы $D$ равен главной диагонали куба $d$.

Квадрат главной диагонали куба равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). Для куба все измерения равны его ребру $a$.

Найдем главную диагональ $d$ по формуле:

$d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Так как куб единичный, его ребро $a = 1$. Подставим это значение в формулу:

$d = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$

Диаметр описанной сферы $D$ равен диагонали куба $d$.

$D = \sqrt{3}$

Радиус описанной сферы $R$ равен половине её диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

19.2. Найдите радиус сферы, описанной около единичного куба.

19.3. Найдите ребро куба, вписанного в сферу радиусом 1 см.

Дано:

Радиус сферы, в которую вписан куб: $R = 1$ см.

Перевод в систему СИ:
$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Ребро куба: $a$.

Решение:

Когда куб вписан в сферу, все его восемь вершин лежат на поверхности сферы. Это означает, что центр сферы совпадает с центром куба, а главная диагональ куба ($d$) равна диаметру сферы ($D$).

Пусть $a$ — длина ребра куба. Главная диагональ куба вычисляется по формуле (следующей из теоремы Пифагора): $d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$.

Диаметр сферы равен удвоенному радиусу: $D = 2R = 2 \times 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

Приравняем выражение для главной диагонали куба к диаметру сферы: $d = D$ $a\sqrt{3} = 2$

Теперь выразим ребро куба $a$ из полученного уравнения: $a = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$: $a = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: ребро куба равно $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.