Номер 19.7, страница 119 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

19.7. Всегда ли центр сферы, описанной около призмы, лежит внутри призмы?

19.8. Призма имеет правильный треугольник...

Нет, не всегда. Центр сферы, описанной около призмы, может лежать как внутри, так и вне призмы. Рассмотрим условия, при которых это возможно.

Сферу можно описать около призмы тогда и только тогда, когда призма является прямой, а ее основание — вписанный многоугольник (то есть многоугольник, около которого можно описать окружность).

Пусть дана прямая призма, у которой основаниями являются конгруэнтные вписанные многоугольники. Пусть $O_1$ — центр окружности, описанной около нижнего основания, а $O_2$ — центр окружности, описанной около верхнего основания. Так как призма прямая, отрезок $O_1O_2$ перпендикулярен плоскостям оснований, и его длина равна высоте призмы $h$.

Центр $O$ описанной сферы должен быть равноудален от всех вершин призмы. Из соображений симметрии очевидно, что центр сферы $O$ будет лежать на середине отрезка $O_1O_2$.

Таким образом, положение центра сферы $O$ относительно призмы полностью определяется положением центров $O_1$ и $O_2$ относительно оснований призмы. Если центры $O_1$ и $O_2$ лежат внутри многоугольников-оснований, то и весь отрезок $O_1O_2$, а значит, и центр сферы $O$, будет лежать внутри призмы.

Однако центр окружности, описанной около многоугольника, не всегда лежит внутри этого многоугольника. Рассмотрим в качестве контрпримера прямую призму, в основании которой лежит тупоугольный треугольник.

Любой треугольник является вписанным многоугольником, поэтому около прямой треугольной призмы всегда можно описать сферу. Но известно, что центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, находится вне этого треугольника.

Следовательно, для прямой призмы, в основании которой лежит тупоугольный треугольник, центры $O_1$ и $O_2$ описанных окружностей оснований будут лежать вне этих оснований. Отрезок $O_1O_2$, соединяющий эти центры, будет проходить вне призмы. А поскольку центр сферы $O$ является серединой этого отрезка, он также будет находиться вне призмы.

Ответ: Нет, не всегда. Например, у прямой призмы, основанием которой является тупоугольный треугольник, центр описанной сферы лежит вне призмы.