Номер 19.14, страница 119 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

19.14. Докажите, что если около четырехугольной призмы можно описать сферу, то суммы противолежащих двугранных углов при боковых ребрах этой призмы равны.

Решение

Пусть дана четырехугольная призма, около которой описана сфера. Обозначим призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — основания. То, что сфера описана около призмы, означает, что все восемь вершин призмы лежат на этой сфере.

1. Сначала докажем, что такая призма является прямой. Если все вершины призмы лежат на сфере с центром $O$, то основания призмы $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ лежат в плоскостях, пересекающих сферу. Сечениями сферы являются окружности. Следовательно, основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются четырехугольниками, вписанными в окружности. Проекция центра сферы $O$ на плоскость основания $ABCD$ является центром описанной около $ABCD$ окружности. Обозначим этот центр $O_1$. Аналогично, проекция $O$ на плоскость $A_1B_1C_1D_1$ является центром описанной около $A_1B_1C_1D_1$ окружности, обозначим его $O_2$. Прямая $O_1O_2$ проходит через центр сферы $O$ и перпендикулярна обеим плоскостям оснований. Поскольку призма — это результат параллельного переноса основания $ABCD$ вдоль боковых ребер, вектор переноса $\vec{AA_1}$ переводит $O_1$ в $O_2$. Значит, боковые ребра призмы параллельны отрезку $O_1O_2$. Так как прямая $O_1O_2$ перпендикулярна плоскостям оснований, то и боковые ребра призмы, будучи ей параллельными, также перпендикулярны плоскостям оснований. Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, называется прямой.

2. Теперь определим двугранные углы при боковых ребрах. Двугранный угол при боковом ребре, например, при ребре $AA_1$, образован двумя смежными боковыми гранями $AA_1B_1B$ и $AA_1D_1D$. Так как призма прямая, ее боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Следовательно, $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AD$. Линейным углом двугранного угла является угол между лучами, проведенными в его гранях перпендикулярно ребру из одной точки. В нашем случае, $AB$ и $AD$ перпендикулярны ребру $AA_1$. Значит, угол $\angle DAB$ (внутренний угол основания) является линейной мерой двугранного угла при ребре $AA_1$. Аналогично, двугранные углы при боковых ребрах $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ равны соответственно углам $\angle ABC$, $\angle BCD$ и $\angle CDA$ четырехугольника в основании.

3. Докажем равенство сумм противолежащих двугранных углов. Пусть $\alpha_A, \alpha_B, \alpha_C, \alpha_D$ — величины двугранных углов при боковых ребрах, проходящих через вершины $A, B, C, D$ соответственно. Из предыдущего пункта мы имеем: $\alpha_A = \angle A$, $\alpha_B = \angle B$, $\alpha_C = \angle C$, $\alpha_D = \angle D$. Требуется доказать, что $\alpha_A + \alpha_C = \alpha_B + \alpha_D$. Это равносильно доказательству равенства $\angle A + \angle C = \angle B + \angle D$ для четырехугольника в основании $ABCD$. Как мы установили в п.1, основание $ABCD$ является четырехугольником, вписанным в окружность. Для любого вписанного (циклического) четырехугольника сумма противолежащих углов равна $180^\circ$. То есть: $\angle A + \angle C = 180^\circ$ $\angle B + \angle D = 180^\circ$ Следовательно, $\angle A + \angle C = \angle B + \angle D$. Таким образом, $\alpha_A + \alpha_C = \alpha_B + \alpha_D$, что и требовалось доказать.

Ответ: Если около четырехугольной призмы можно описать сферу, то такая призма является прямой, а ее основания — вписанными четырехугольниками. Двугранные углы при боковых ребрах такой призмы равны соответствующим углам четырехугольника в основании. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$. Поэтому суммы противолежащих двугранных углов при боковых ребрах призмы также равны $180^\circ$, а значит, равны между собой.