Номер 18.21, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

При боковых ребрах этой призмы равны.

18.21. Докажите, что если в четырехугольную пирамиду можно вписать конус, то суммы противолежащих плоских углов четырехгранного угла при вершине этой пирамиды равны.

Решение

Пусть дана четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной в точке $S$ и основанием $ABCD$. Плоские углы четырехгранного угла при вершине этой пирамиды — это углы $\angle ASB, \angle BSC, \angle CSD, \angle DSA$.

Условие, что в пирамиду можно вписать конус, означает, что их вершины совпадают (в точке $S$), а боковые грани пирамиды (плоскости $SAB, SBC, SCD, SDA$) являются касательными к боковой поверхности конуса.

Ключевое свойство конуса заключается в том, что все его касательные плоскости наклонены под одним и тем же углом к его оси. Следовательно, если в пирамиду вписан конус, то все ее боковые грани наклонены под одинаковым углом к оси этого конуса.

Для доказательства воспользуемся методом сферической геометрии. Рассмотрим сферу единичного радиуса с центром в вершине пирамиды $S$. Лучи $SA, SB, SC, SD$, являющиеся боковыми ребрами пирамиды, пересекут эту сферу в точках $A', B', C', D'$. Плоскости боковых граней пирамиды пересекут сферу по дугам больших окружностей $A'B', B'C', C'D', D'A'$. Эти дуги образуют на сфере сферический четырехугольник $A'B'C'D'$.

Длины сторон этого сферического четырехугольника, измеренные в радианах, равны величинам соответствующих плоских углов при вершине $S$:

длина дуги $A'B' = \angle ASB$

длина дуги $B'C' = \angle BSC$

длина дуги $C'D' = \angle CSD$

длина дуги $D'A' = \angle DSA$

Пусть ось вписанного конуса пересекает нашу сферу в точке $P$. Так как все боковые грани пирамиды равнонаклонены к оси конуса, то и содержащие их дуги больших окружностей ($A'B', B'C', C'D', D'A'$) находятся на одинаковом сферическом расстоянии от точки $P$. Это означает, что в сферический четырехугольник $A'B'C'D'$ можно вписать окружность с центром в точке $P$.

Для сферического четырехугольника, в который можно вписать окружность, справедливо свойство, аналогичное теореме Пифагора для плоских описанных четырехугольников: суммы длин его противоположных сторон равны. Докажем это. Пусть вписанная окружность касается сторон $A'B', B'C', C'D', D'A'$ в точках $K, L, M, N$ соответственно. Отрезки касательных, проведенных из одной вершины к окружности, равны. Например, рассмотрим сферические треугольники $\triangle PA'K$ и $\triangle PA'N$. Они прямоугольные (радиус $PK$ и $PN$ перпендикулярен касательной дуге), имеют общую гипотенузу $PA'$ и равные катеты $PK = PN$ (как радиусы вписанной окружности). Следовательно, эти треугольники равны, и длина дуги $A'K$ равна длине дуги $A'N$.

Аналогично, $B'K = B'L$, $C'L = C'M$ и $D'M = D'N$.

Теперь сравним суммы длин противоположных сторон сферического четырехугольника:

$A'B' + C'D' = (A'K + KB') + (C'M + MD') = A'N + B'L + C'L + D'N$

$B'C' + D'A' = (B'L + LC') + (D'N + NA') = B'L + C'L + D'N + A'N$

Из этих выражений видно, что $A'B' + C'D' = B'C' + D'A'$.

Возвращаясь к плоским углам при вершине пирамиды, заменяем длины дуг на соответствующие углы:

$\angle ASB + \angle CSD = \angle BSC + \angle DSA$

Таким образом, мы доказали, что суммы противолежащих плоских углов четырехгранного угла при вершине этой пирамиды равны.

Ответ: Что и требовалось доказать.