Номер 18.17, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.17. Найдите радиус основания и высоту конуса, вписанного в правильную треугольную пирамиду, ребра которой равны 1 см.

Дано:

Правильная треугольная пирамида (тетраэдр), у которой все ребра равны.

Длина ребра $a = 1 \text{ см}$

В пирамиду вписан конус.

Перевод в систему СИ не требуется, так как все единицы измерения согласованы.

Найти:

Радиус основания конуса $r$

Высоту конуса $h$

Решение:

Поскольку конус вписан в правильную треугольную пирамиду, их вершины совпадают, а основание конуса является окружностью, вписанной в основание пирамиды. Это означает, что высота конуса $h$ равна высоте пирамиды $H$, а радиус основания конуса $r$ равен радиусу вписанной в основание пирамиды окружности.

1. Найдем радиус основания конуса $r$.

Основанием пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 1 \text{ см}$. Радиус $r$ вписанной в него окружности вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение $a = 1 \text{ см}$:

$r = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \text{ см}$

2. Найдем высоту конуса $h$.

Высота конуса $h$ равна высоте пирамиды $H$. Высоту пирамиды можно найти из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус $R$ описанной около основания окружности, а гипотенузой — боковое ребро пирамиды $L$. По условию, все ребра равны, значит $L = a = 1 \text{ см}$.

Найдем радиус $R$ окружности, описанной около основания. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ он вычисляется по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение $a = 1 \text{ см}$:

$R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

Теперь по теореме Пифагора найдем высоту пирамиды $H$ (и конуса $h$):

$H^2 + R^2 = L^2$

$h^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 1^2$

$h^2 + \frac{3}{9} = 1$

$h^2 + \frac{1}{3} = 1$

$h^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$h = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \text{ см}$

Ответ: радиус основания конуса равен $\frac{\sqrt{3}}{6} \text{ см}$, высота конуса равна $\frac{\sqrt{6}}{3} \text{ см}$.