Номер 18.11, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.11. Найдите радиус основания и высоту цилиндра, описанного около правильной шестиугольной призмы, ребра которой равны 1 см.

Сделайте рисунок.

Дано:

Правильная шестиугольная призма, вписанная в цилиндр.

Ребро основания призмы, $a = 1$ см.

Боковое ребро призмы (высота), $h_{пр} = 1$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$h_{пр} = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания цилиндра $R$ - ?

Высоту цилиндра $H$ - ?

Решение:

Так как цилиндр описан около правильной шестиугольной призмы, то высота цилиндра $H$ равна высоте призмы $h_{пр}$, а основания призмы (правильные шестиугольники) вписаны в основания цилиндра (окружности).

1. Найдем высоту цилиндра $H$.

Высота призмы равна ее боковому ребру. По условию, все ребра призмы равны 1 см, следовательно, высота призмы $h_{пр} = 1$ см.

Таким образом, высота цилиндра $H$ также равна 1 см.

$H = h_{пр} = 1$ см.

2. Найдем радиус основания цилиндра $R$.

Радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу окружности, описанной около правильного шестиугольника, который является основанием призмы. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне $a$.

$R = a$

Так как по условию сторона основания призмы $a = 1$ см, то и радиус основания цилиндра $R$ равен 1 см.

$R = 1$ см.

3. Сделаем рисунок.

На рисунке изображен цилиндр, в который вписана правильная шестиугольная призма. Основания призмы - правильные шестиугольники - вписаны в окружности, являющиеся основаниями цилиндра. Высоты призмы и цилиндра совпадают. Радиус $R$ основания цилиндра является радиусом окружности, описанной около шестиугольника в основании, и равен стороне этого шестиугольника $a$.

Ответ: радиус основания цилиндра равен 1 см, высота цилиндра равна 1 см.