Номер 18.9, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.9. Найдите радиус основания и высоту цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, ребра которой равны 1 см. Сделайте рисунок.

Дано:

Правильная треугольная призма, вписанная в цилиндр.

Ребро призмы (и сторона основания, и высота), $a = 1$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания цилиндра $R$ - ?

Высоту цилиндра $h$ - ?

Решение:

По условию задачи цилиндр описан около правильной треугольной призмы. Это означает, что основания призмы (правильные треугольники) вписаны в основания цилиндра (круги), а высота цилиндра равна высоте призмы.

Сделаем рисунок, показывающий общий вид (слева) и вид сверху на основание (справа).

1. Нахождение высоты цилиндра h.

В условии сказано, что все ребра правильной призмы равны 1 см. Высота правильной призмы равна длине ее бокового ребра. Следовательно, высота призмы $h_{призмы} = a = 1$ см.

Так как призма вписана в цилиндр, их высоты совпадают:

$h = h_{призмы} = 1$ см.

2. Нахождение радиуса основания цилиндра R.

Основание цилиндра — это круг, описанный около основания призмы. Основание правильной треугольной призмы — это равносторонний треугольник. Сторона этого треугольника, по условию, равна $a = 1$ см.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, находится по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 1$ см:

$R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: радиус основания цилиндра $R = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см, высота цилиндра $h = 1$ см.