Номер 18.4, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.3. Можно ли описать конус около правильной пирамиды?

18.4. Можно ли вписать конус в правильную пирамиду?

Можно ли вписать конус в правильную пирамиду?

Да, в любую правильную пирамиду можно вписать конус. Конус считается вписанным в пирамиду, если выполняются три условия: их вершины совпадают, основание конуса вписано в основание пирамиды, и боковая поверхность конуса касается всех боковых граней пирамиды.

Рассмотрим, как эти условия выполняются для произвольной правильной пирамиды:

1. Совмещение вершин. Вершину конуса можно совместить с вершиной правильной пирамиды. Пусть это будет точка $S$.

2. Вписывание основания. Основанием правильной пирамиды является правильный многоугольник. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Центр этой окружности совпадает с центром многоугольника. Эту окружность мы и примем за основание конуса.

3. Касание боковых граней. Высота правильной пирамиды $SO$ (где $O$ - центр основания) проектируется в центр основания, который также является центром вписанной окружности. Следовательно, ось конуса совпадёт с высотой пирамиды. Такой конус является прямым круговым.

Апофема правильной пирамиды (высота боковой грани, опущенная из вершины $S$) соединяет вершину с точкой касания стороны основания и вписанной в него окружности. Обозначим апофему $h_a$, высоту пирамиды $H$, а радиус вписанной в основание окружности (он же радиус основания конуса) — $r$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности и апофемой, следует, что $h_a = \sqrt{H^2 + r^2}$.

Образующая $l$ построенного конуса также находится из соотношения $l = \sqrt{H^2 + r^2}$. Таким образом, образующая конуса равна апофеме пирамиды: $l = h_a$.

Каждая апофема пирамиды лежит на соответствующей боковой грани. Поскольку апофема является также и образующей конуса, то каждая боковая грань пирамиды касается боковой поверхности конуса по этой линии. Так как в правильной пирамиде все апофемы равны, то конус будет касаться всех боковых граней одинаковым образом.

Все условия выполняются, следовательно, в любую правильную пирамиду можно вписать конус.

Ответ: Да, можно.