Номер 18.8, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.8. Найдите радиус основания и высоту цилиндра, описанного около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого, выходящие из одной вершины равны 1 см, 2 см, 3 см. Сколько таких цилиндров?

Дано:

Прямоугольный параллелепипед с ребрами, выходящими из одной вершины:

$a = 1$ см

$b = 2$ см

$c = 3$ см

Перевод в систему СИ:

$a = 0.01$ м

$b = 0.02$ м

$c = 0.03$ м

Найти:

$R$ – радиус основания цилиндра

$H$ – высота цилиндра

Количество возможных цилиндров.

Решение:

Цилиндр, описанный около прямоугольного параллелепипеда, имеет высоту, равную одному из измерений параллелепипеда, а его основание представляет собой круг, описанный около соответствующей прямоугольной грани параллелепипеда. Так как у параллелепипеда три различных измерения, существует три возможных варианта описанного цилиндра, в зависимости от того, какое ребро будет выбрано в качестве высоты.

Вариант 1.

Пусть высота цилиндра $H_1$ равна ребру $c$. Тогда $H_1 = 3$ см. В этом случае основанием цилиндра является круг, описанный около прямоугольной грани со сторонами $a=1$ см и $b=2$ см. Диаметр $D_1$ этого круга равен диагонали прямоугольника. По теореме Пифагора:

$D_1 = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ см.

Радиус основания цилиндра $R_1$ равен половине диаметра:

$R_1 = \frac{D_1}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

Ответ: Высота цилиндра $3$ см, радиус основания $\frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

Вариант 2.

Пусть высота цилиндра $H_2$ равна ребру $b$. Тогда $H_2 = 2$ см. Основанием цилиндра является круг, описанный около прямоугольной грани со сторонами $a=1$ см и $c=3$ см. Диаметр $D_2$ этого круга равен диагонали прямоугольника:

$D_2 = \sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ см.

Радиус основания цилиндра $R_2$ равен:

$R_2 = \frac{D_2}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ см.

Ответ: Высота цилиндра $2$ см, радиус основания $\frac{\sqrt{10}}{2}$ см.

Вариант 3.

Пусть высота цилиндра $H_3$ равна ребру $a$. Тогда $H_3 = 1$ см. Основанием цилиндра является круг, описанный около прямоугольной грани со сторонами $b=2$ см и $c=3$ см. Диаметр $D_3$ этого круга равен диагонали прямоугольника:

$D_3 = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ см.

Радиус основания цилиндра $R_3$ равен:

$R_3 = \frac{D_3}{2} = \frac{\sqrt{13}}{2}$ см.

Ответ: Высота цилиндра $1$ см, радиус основания $\frac{\sqrt{13}}{2}$ см.

Теперь ответим на вопрос "Сколько таких цилиндров?".

Мы рассмотрели все три возможных варианта выбора высоты цилиндра, которые соответствуют трем измерениям параллелепипеда. Каждый вариант дает уникальный набор параметров (высота и радиус). Следовательно, существует ровно три различных цилиндра, которые можно описать около данного параллелепипеда.

Ответ: Всего существует 3 таких цилиндра.