Номер 18.22, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.22. Докажите, что если около четырехугольной пирамиды можно описать конус, то суммы противолежащих двугранных углов четырехгранного угла при вершине этой пирамиды равны.

Решение

Рассмотрим четырехугольную пирамиду $SABCD$, где $S$ — вершина, а $ABCD$ — основание. По условию, около этой пирамиды можно описать конус. Это означает, что вершина пирамиды $S$ является вершиной конуса, а все вершины основания пирамиды $A, B, C, D$ лежат на одной окружности, которая является основанием конуса. Следовательно, четырехугольник в основании пирамиды $ABCD$ является вписанным в окружность.

Четырехгранный угол при вершине $S$ образован ребрами $SA, SB, SC, SD$ и плоскими углами между ними. Двугранные углы этого четырехгранного угла — это углы между смежными боковыми гранями пирамиды. Обозначим двугранные углы при ребрах $SA, SB, SC, SD$ как $\alpha_{SA}, \alpha_{SB}, \alpha_{SC}, \alpha_{SD}$ соответственно. Требуется доказать, что суммы противолежащих двугранных углов равны, то есть: $\alpha_{SA} + \alpha_{SC} = \alpha_{SB} + \alpha_{SD}$.

Для доказательства воспользуемся методом сферической геометрии. Построим сферу произвольного радиуса с центром в вершине пирамиды $S$. Пересечение этой сферы с боковыми гранями пирамиды образует на сфере сферический четырехугольник. Обозначим точки пересечения ребер $SA, SB, SC, SD$ со сферой как $A', B', C', D'$ соответственно.

Углы этого сферического четырехугольника $A'B'C'D'$ в его вершинах $A', B', C', D'$ равны соответствующим двугранным углам четырехгранного угла при вершине $S$. Таким образом, $\angle A' = \alpha_{SA}$, $\angle B' = \alpha_{SB}$, $\angle C' = \alpha_{SC}$, $\angle D' = \alpha_{SD}$. Наша задача сводится к доказательству равенства сумм противолежащих углов сферического четырехугольника: $\angle A' + \angle C' = \angle B' + \angle D'$.

В сферической геометрии известна теорема: сферический четырехугольник можно вписать в малую окружность на сфере тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих углов равны. Следовательно, для завершения доказательства нам достаточно показать, что сферический четырехугольник $A'B'C'D'$ является вписанным в малую окружность.

Вернемся к условию, что около пирамиды можно описать конус. Это означает, что ребра $SA, SB, SC, SD$ являются образующими некоторого кругового конуса (конуса вращения) с вершиной $S$. По определению, все образующие кругового конуса составляют одинаковый угол с его осью. Пусть $\ell$ — ось этого конуса, проходящая через вершину $S$, а $\theta$ — угол между осью и образующими. Тогда: $\angle(\ell, SA) = \angle(\ell, SB) = \angle(\ell, SC) = \angle(\ell, SD) = \theta$.

На нашей сфере с центром в $S$ это означает, что все вершины сферического четырехугольника $A', B', C', D'$ находятся на одинаковом сферическом расстоянии $\theta$ от точки $P$, в которой ось $\ell$ пересекает сферу. То есть, точки $A', B', C', D'$ лежат на одной малой окружности сферы с центром в $P$. Таким образом, сферический четырехугольник $A'B'C'D'$ является вписанным.

Применяя теорему о вписанном сферическом четырехугольнике, получаем: $\angle A' + \angle C' = \angle B' + \angle D'$. Подставляя значения двугранных углов, имеем: $\alpha_{SA} + \alpha_{SC} = \alpha_{SB} + \alpha_{SD}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.