Номер 18.19, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.19. Найдите радиус основания и высоту конуса, вписанного в правильную шестиугольную пирамиду, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см.

Дано:

В правильную шестиугольную пирамиду вписан конус.
Сторона основания пирамиды, $a = 1$ см.
Боковое ребро пирамиды, $l = 2$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания конуса, $r$.
Высоту конуса, $H$.

Решение:

Поскольку конус вписан в правильную шестиугольную пирамиду, его вершина совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (правильный шестиугольник). Из этого следует, что высота конуса $H$ равна высоте пирамиды $H_{пир}$, а радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в основание пирамиды $r_{впис}$.

1. Найдем радиус основания конуса $r$.

Радиус $r$ равен радиусу окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a = 1$ см. Радиус вписанной окружности для правильного шестиугольника (его апофема) вычисляется по формуле:

$r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны основания $a = 1$ см:

$r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$

2. Найдем высоту конуса $H$.

Высота конуса $H$ равна высоте пирамиды $H_{пир}$. Высоту пирамиды можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H_{пир}$, боковым ребром $l$ (гипотенуза) и радиусом окружности, описанной около основания пирамиды $R_{опис}$ (катет).

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне:

$R_{опис} = a = 1 \text{ см}$

По теореме Пифагора:

$l^2 = H_{пир}^2 + R_{опис}^2$

Выразим высоту $H = H_{пир}$:

$H^2 = l^2 - R_{опис}^2$

Подставим известные значения $l = 2$ см и $R_{опис} = 1$ см:

$H^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$H = \sqrt{3} \text{ см}$

Ответ: радиус основания конуса равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см, высота конуса равна $\sqrt{3}$ см.