Страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17.22. Дан единичный куб. Шар, радиус которого равен 1 см, имеет своим центром вершину этого куба (рис. 17.7). Найдите площадь части поверхности шара, содержащейся в кубе.

Рис. 17.7

Дано:

Куб - единичный, сторона $a = 1$ см.
Шар с центром в вершине куба.
Радиус шара $R = 1$ см.

В системе СИ:
$a = 0.01$ м
$R = 0.01$ м

Найти:

Площадь части поверхности шара, содержащейся в кубе - $S_{внутр}$.

Решение:

Разместим центр шара в начале трехмерной системы координат $O(0, 0, 0)$. Поскольку центр шара совпадает с вершиной куба, а сам куб является единичным (длина ребра равна 1), то куб будет занимать область пространства, где $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$ и $0 \le z \le 1$. Эта область представляет собой первый октант пространства.

Уравнение сферы, которая является поверхностью данного шара, имеет вид $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$. С учетом того, что радиус $R = 1$ см, уравнение принимает вид $x^2 + y^2 + z^2 = 1^2$.

Нам необходимо найти площадь той части поверхности этой сферы, которая находится внутри куба. Условия, определяющие нахождение точки на поверхности сферы внутри куба, следующие:

1. $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ (точка лежит на сфере).
2. $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$ (точка лежит внутри или на границе куба).

Для любой точки $(x, y, z)$ на сфере с радиусом 1, выполняются неравенства $|x| \le 1$, $|y| \le 1$ и $|z| \le 1$. Поэтому условия $x \le 1$, $y \le 1$ и $z \le 1$ выполняются автоматически. Таким образом, искомая часть поверхности сферы определяется условиями $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ и $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$.

Эти условия описывают поверхность сферы, расположенную в первом октанте. Координатные плоскости $xy$, $xz$ и $yz$ делят всю сферу на 8 равных частей (октантов). В силу симметрии, площади поверхности сферы в каждом октанте равны.

Следовательно, площадь части поверхности шара, содержащейся в кубе, составляет ровно $\frac{1}{8}$ от общей площади поверхности шара.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: $S_{шара} = 4\pi R^2$

Искомая площадь $S_{внутр}$ равна: $S_{внутр} = \frac{1}{8} S_{шара} = \frac{1}{8} \cdot 4\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi R^2$

Подставим значение радиуса $R = 1$ см: $S_{внутр} = \frac{1}{2}\pi (1 \text{ см})^2 = \frac{\pi}{2}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$ см$^2$.

17.23. Дана правильная четырехугольная пирамида, стороны основания которой равны 2 см, а высота равна 1 см. Шар, радиус которого равен 1 см, имеет своим центром вершину этой пирамиды (рис. 17.8). Найдите площадь части поверхности шара, содержащейся в пирамиде.

Рис. 17.8

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$

Сторона основания $a = 2 \text{ см}$

Высота пирамиды $h = 1 \text{ см}$

Шар с центром в вершине $S$

Радиус шара $R = 1 \text{ см}$

$a = 0.02 \text{ м}$
$h = 0.01 \text{ м}$
$R = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Площадь части поверхности шара, содержащейся в пирамиде ($S_{вн}$).

Решение:

Часть поверхности шара, находящаяся внутри пирамиды, представляет собой сферический многоугольник, вырезанный на сфере гранями многогранного угла при вершине пирамиды $S$. Площадь такой сферической области $S_{вн}$ вычисляется по формуле:$S_{вн} = \Omega \cdot R^2$,где $R$ — радиус шара, а $\Omega$ — величина телесного (пространственного) угла при вершине пирамиды, выраженная в стерадианах.

Поскольку центр шара совпадает с вершиной пирамиды $S$, а высота пирамиды $h=1$ см равна радиусу шара $R=1$ см, плоскость основания пирамиды $ABCD$ является касательной к шару в точке $O$ (центре основания). Это означает, что искомая часть поверхности шара полностью определяется боковыми гранями пирамиды.

Телесный угол $\Omega$ для правильной $n$-угольной пирамиды связан с двугранным углом $\alpha$ между смежными боковыми гранями по формуле (обобщение теоремы Жирара):$\Omega = n\alpha - (n-2)\pi$.В нашем случае пирамида четырехугольная, поэтому $n=4$. Формула принимает вид:$\Omega = 4\alpha - 2\pi$.Таким образом, задача сводится к нахождению двугранного угла $\alpha$ между смежными боковыми гранями пирамиды, например, между гранями $SAD$ и $SCD$.

1. Найдем геометрические параметры пирамиды.Пусть $O$ — центр основания. Тогда $SO = h = 1$ см.Диагональ основания $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.Половина диагонали $AO = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2}$ см.Из прямоугольного треугольника $SAO$ найдем длину бокового ребра $SA$:$SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1+2} = \sqrt{3}$ см.

2. Вычислим двугранный угол $\alpha$ при боковом ребре.Рассмотрим двугранный угол при ребре $SD$. Он измеряется линейным углом $\angle AHC$, где $AH$ и $CH$ — перпендикуляры, опущенные из вершин $A$ и $C$ на ребро $SD$ в гранях $SAD$ и $SCD$ соответственно.Найдем длину высоты $AH$ в треугольнике $SAD$. Треугольник $SAD$ — равнобедренный с боковыми сторонами $SA=SD=\sqrt{3}$ см и основанием $AD=2$ см.Площадь треугольника $SAD$ можно найти через его апофему $SK$ (где $K$ — середина $AD$).$SK = \sqrt{SD^2 - KD^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{2}$ см.Площадь $S_{\triangle SAD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см$^2$.С другой стороны, $S_{\triangle SAD} = \frac{1}{2} \cdot SD \cdot AH$.$\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot AH \implies AH = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ см.В силу симметрии, $CH = AH = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ см.

3. Рассмотрим треугольник $AHC$. Его стороны: $AH = CH = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ см и $AC = 2\sqrt{2}$ см. Угол $\angle AHC$ при вершине $H$ — это искомый двугранный угол $\alpha$.Применим теорему косинусов для треугольника $AHC$:$AC^2 = AH^2 + CH^2 - 2 \cdot AH \cdot CH \cdot \cos\alpha$$(2\sqrt{2})^2 = \left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot \cos\alpha$$8 = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} - 2 \cdot \frac{8}{3} \cdot \cos\alpha$$8 = \frac{16}{3} - \frac{16}{3} \cos\alpha$Умножим обе части на 3:$24 = 16 - 16\cos\alpha$$16\cos\alpha = 16 - 24 = -8$$\cos\alpha = -\frac{8}{16} = -\frac{1}{2}$Отсюда $\alpha = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$ радиан.

4. Найдем телесный угол $\Omega$.$\Omega = 4\alpha - 2\pi = 4 \cdot \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{8\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ стерадиан.

5. Найдем искомую площадь поверхности шара.$S_{вн} = \Omega \cdot R^2 = \frac{2\pi}{3} \cdot (1)^2 = \frac{2\pi}{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$ см$^2$.

17.24. Повторите определения вписанных и описанных многоугольников.

Вписанный многоугольник

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. В этом случае окружность называется описанной около многоугольника.

Центром окружности, описанной около выпуклого многоугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров ко всем его сторонам. Следует отметить, что не любой многоугольник можно вписать в окружность. Обязательно можно вписать в окружность любой треугольник, любой прямоугольник, любую равнобедренную трапецию и любой правильный многоугольник.

Ответ: Многоугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность.

Описанный многоугольник

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. В этом случае окружность называется вписанной в многоугольник.

Центром окружности, вписанной в выпуклый многоугольник, является точка пересечения биссектрис всех его внутренних углов. Также не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Например, окружность можно вписать в любой треугольник, ромб и любой правильный многоугольник. Для выпуклого четырехугольника это возможно тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.

Ответ: Многоугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности.

1. Радиус основания цилиндра равен 3 см, образующая 8 см. Найдите диагональ осевого сечения:

A) 6 см; B) 10 см; C) 12 см; D) 16 см.

Дано:
Радиус основания цилиндра, $R = 3$ см
Образующая цилиндра, $L = 8$ см

Найти:
Диагональ осевого сечения, $d$

Решение:
Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Сторонами этого прямоугольника являются высота цилиндра $H$ и диаметр его основания $D$.

Высота прямого цилиндра равна его образующей, следовательно, $H = L = 8$ см.

Диаметр основания равен двум радиусам: $D = 2R$. Подставим известное значение радиуса: $D = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Диагональ осевого сечения $d$ является диагональю этого прямоугольника. Мы можем найти её по теореме Пифагора, так как диагональ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота $H$ и диаметр $D$.

Формула для нахождения диагонали: $d = \sqrt{H^2 + D^2}$.

Подставим числовые значения в формулу: $d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

Следовательно, диагональ осевого сечения цилиндра равна 10 см. Это соответствует варианту ответа B).

Ответ: 10 см.

2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, получающегося вращением прямоугольника, стороны которого равны 1 см и 2 см, вокруг прямой содержащей его большую сторону:

A) $2\pi \text{ см}^2$; B) $3\pi \text{ см}^2$; C) $4\pi \text{ см}^2$; D) $6\pi \text{ см}^2$.

Дано:

Стороны прямоугольника: $a = 2 \text{ см}$, $b = 1 \text{ см}$.

Вращение происходит вокруг большей стороны.

Найти:

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$.

Решение:

При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. В условии задачи указано, что вращение происходит вокруг прямой, содержащей большую сторону прямоугольника.

Следовательно, высота цилиндра $h$ будет равна длине большей стороны прямоугольника, а радиус основания цилиндра $r$ будет равен длине его меньшей стороны.

Высота цилиндра: $h = 2 \text{ см}$.

Радиус основания цилиндра: $r = 1 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:

$S_{бок} = 2 \pi r h$

Подставим значения высоты и радиуса в формулу:

$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 1 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 4\pi \text{ см}^2$.

Этот результат соответствует варианту C) из предложенных.

Ответ: $4\pi \text{ см}^2$.

3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, получающегося вращением правильной треугольной призмы, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, вокруг прямой содержащей боковое ребро:

A) $2\pi \text{ см}^2$;

B) $3\pi \text{ см}^2$;

C) $4\pi \text{ см}^2$;

D) $6\pi \text{ см}^2$.

Дано:

Правильная треугольная призма

Сторона основания $a = 1$ см

Боковое ребро $h_{призмы} = 2$ см

Найти:

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$.

Решение:

При вращении правильной треугольной призмы вокруг прямой, содержащей ее боковое ребро, образуется прямой круговой цилиндр.

Высота полученного цилиндра $H$ будет равна длине бокового ребра призмы, так как оно является осью вращения. Таким образом, $H = h_{призмы} = 2$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ равен наибольшему расстоянию от оси вращения до точек призмы. В основании призмы лежит равносторонний треугольник. Ось вращения проходит через одну из вершин этого треугольника. Две другие вершины основания будут наиболее удалены от оси вращения. Расстояние от оси вращения до этих вершин равно длине стороны основания треугольника.

Следовательно, радиус основания цилиндра $R$ равен стороне основания призмы: $R = a = 1$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2 \pi R H$

Подставим известные значения в формулу:

$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 1 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 4\pi \text{ см}^2$

Данный результат соответствует варианту C).

Ответ: $4\pi \text{ см}^2$.