Номер 17.22, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17.22. Дан единичный куб. Шар, радиус которого равен 1 см, имеет своим центром вершину этого куба (рис. 17.7). Найдите площадь части поверхности шара, содержащейся в кубе.

Рис. 17.7

Дано:

Куб - единичный, сторона $a = 1$ см.
Шар с центром в вершине куба.
Радиус шара $R = 1$ см.

В системе СИ:
$a = 0.01$ м
$R = 0.01$ м

Найти:

Площадь части поверхности шара, содержащейся в кубе - $S_{внутр}$.

Решение:

Разместим центр шара в начале трехмерной системы координат $O(0, 0, 0)$. Поскольку центр шара совпадает с вершиной куба, а сам куб является единичным (длина ребра равна 1), то куб будет занимать область пространства, где $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$ и $0 \le z \le 1$. Эта область представляет собой первый октант пространства.

Уравнение сферы, которая является поверхностью данного шара, имеет вид $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$. С учетом того, что радиус $R = 1$ см, уравнение принимает вид $x^2 + y^2 + z^2 = 1^2$.

Нам необходимо найти площадь той части поверхности этой сферы, которая находится внутри куба. Условия, определяющие нахождение точки на поверхности сферы внутри куба, следующие:

1. $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ (точка лежит на сфере).
2. $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$ (точка лежит внутри или на границе куба).

Для любой точки $(x, y, z)$ на сфере с радиусом 1, выполняются неравенства $|x| \le 1$, $|y| \le 1$ и $|z| \le 1$. Поэтому условия $x \le 1$, $y \le 1$ и $z \le 1$ выполняются автоматически. Таким образом, искомая часть поверхности сферы определяется условиями $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ и $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$.

Эти условия описывают поверхность сферы, расположенную в первом октанте. Координатные плоскости $xy$, $xz$ и $yz$ делят всю сферу на 8 равных частей (октантов). В силу симметрии, площади поверхности сферы в каждом октанте равны.

Следовательно, площадь части поверхности шара, содержащейся в кубе, составляет ровно $\frac{1}{8}$ от общей площади поверхности шара.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: $S_{шара} = 4\pi R^2$

Искомая площадь $S_{внутр}$ равна: $S_{внутр} = \frac{1}{8} S_{шара} = \frac{1}{8} \cdot 4\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi R^2$

Подставим значение радиуса $R = 1$ см: $S_{внутр} = \frac{1}{2}\pi (1 \text{ см})^2 = \frac{\pi}{2}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$ см$^2$.