Номер 17.23, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17.23. Дана правильная четырехугольная пирамида, стороны основания которой равны 2 см, а высота равна 1 см. Шар, радиус которого равен 1 см, имеет своим центром вершину этой пирамиды (рис. 17.8). Найдите площадь части поверхности шара, содержащейся в пирамиде.

Рис. 17.8

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$

Сторона основания $a = 2 \text{ см}$

Высота пирамиды $h = 1 \text{ см}$

Шар с центром в вершине $S$

Радиус шара $R = 1 \text{ см}$

$a = 0.02 \text{ м}$
$h = 0.01 \text{ м}$
$R = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Площадь части поверхности шара, содержащейся в пирамиде ($S_{вн}$).

Решение:

Часть поверхности шара, находящаяся внутри пирамиды, представляет собой сферический многоугольник, вырезанный на сфере гранями многогранного угла при вершине пирамиды $S$. Площадь такой сферической области $S_{вн}$ вычисляется по формуле:$S_{вн} = \Omega \cdot R^2$,где $R$ — радиус шара, а $\Omega$ — величина телесного (пространственного) угла при вершине пирамиды, выраженная в стерадианах.

Поскольку центр шара совпадает с вершиной пирамиды $S$, а высота пирамиды $h=1$ см равна радиусу шара $R=1$ см, плоскость основания пирамиды $ABCD$ является касательной к шару в точке $O$ (центре основания). Это означает, что искомая часть поверхности шара полностью определяется боковыми гранями пирамиды.

Телесный угол $\Omega$ для правильной $n$-угольной пирамиды связан с двугранным углом $\alpha$ между смежными боковыми гранями по формуле (обобщение теоремы Жирара):$\Omega = n\alpha - (n-2)\pi$.В нашем случае пирамида четырехугольная, поэтому $n=4$. Формула принимает вид:$\Omega = 4\alpha - 2\pi$.Таким образом, задача сводится к нахождению двугранного угла $\alpha$ между смежными боковыми гранями пирамиды, например, между гранями $SAD$ и $SCD$.

1. Найдем геометрические параметры пирамиды.Пусть $O$ — центр основания. Тогда $SO = h = 1$ см.Диагональ основания $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.Половина диагонали $AO = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2}$ см.Из прямоугольного треугольника $SAO$ найдем длину бокового ребра $SA$:$SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1+2} = \sqrt{3}$ см.

2. Вычислим двугранный угол $\alpha$ при боковом ребре.Рассмотрим двугранный угол при ребре $SD$. Он измеряется линейным углом $\angle AHC$, где $AH$ и $CH$ — перпендикуляры, опущенные из вершин $A$ и $C$ на ребро $SD$ в гранях $SAD$ и $SCD$ соответственно.Найдем длину высоты $AH$ в треугольнике $SAD$. Треугольник $SAD$ — равнобедренный с боковыми сторонами $SA=SD=\sqrt{3}$ см и основанием $AD=2$ см.Площадь треугольника $SAD$ можно найти через его апофему $SK$ (где $K$ — середина $AD$).$SK = \sqrt{SD^2 - KD^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{2}$ см.Площадь $S_{\triangle SAD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см$^2$.С другой стороны, $S_{\triangle SAD} = \frac{1}{2} \cdot SD \cdot AH$.$\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot AH \implies AH = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ см.В силу симметрии, $CH = AH = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ см.

3. Рассмотрим треугольник $AHC$. Его стороны: $AH = CH = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ см и $AC = 2\sqrt{2}$ см. Угол $\angle AHC$ при вершине $H$ — это искомый двугранный угол $\alpha$.Применим теорему косинусов для треугольника $AHC$:$AC^2 = AH^2 + CH^2 - 2 \cdot AH \cdot CH \cdot \cos\alpha$$(2\sqrt{2})^2 = \left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot \cos\alpha$$8 = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} - 2 \cdot \frac{8}{3} \cdot \cos\alpha$$8 = \frac{16}{3} - \frac{16}{3} \cos\alpha$Умножим обе части на 3:$24 = 16 - 16\cos\alpha$$16\cos\alpha = 16 - 24 = -8$$\cos\alpha = -\frac{8}{16} = -\frac{1}{2}$Отсюда $\alpha = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$ радиан.

4. Найдем телесный угол $\Omega$.$\Omega = 4\alpha - 2\pi = 4 \cdot \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{8\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ стерадиан.

5. Найдем искомую площадь поверхности шара.$S_{вн} = \Omega \cdot R^2 = \frac{2\pi}{3} \cdot (1)^2 = \frac{2\pi}{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$ см$^2$.