Номер 17.20, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17.20. Шар радиусом 1 см пересечен двумя параллельными плоскостями, которые делят перпендикулярный им диаметр шара в отношении 1 : 2 : 3. Определите площадь поверхности шара, заключенную между секущими плоскостями.

Дано:

Радиус шара, $R = 1 \text{ см}$

Отношение отрезков диаметра, которые образуют секущие плоскости, $1:2:3$

$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Площадь поверхности шара, заключенную между секущими плоскостями ($S_{зоны}$)

Решение:

Площадь части поверхности шара, заключенной между двумя параллельными плоскостями, называется площадью шарового пояса (или сферической зоны). Она вычисляется по формуле:

$S_{зоны} = 2 \pi R h$

где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота шарового пояса, то есть расстояние между секущими плоскостями.

В условии сказано, что две параллельные плоскости пересекают шар и делят перпендикулярный им диаметр на три отрезка, длины которых относятся как $1:2:3$. Высота шарового пояса $h$ как раз равна длине среднего из этих отрезков.

1. Найдем длину диаметра шара $D$:

$D = 2R = 2 \times 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$

2. Найдем длины отрезков, на которые делится диаметр. Общее количество частей в отношении равно:

$1 + 2 + 3 = 6$

Следовательно, диаметр $D$ состоит из 6 равных долей. Длина одной доли составляет:

$\frac{D}{6} = \frac{2 \text{ см}}{6} = \frac{1}{3} \text{ см}$

3. Теперь найдем длину каждого из трех отрезков:

Первый отрезок: $1 \times \frac{1}{3} \text{ см} = \frac{1}{3} \text{ см}$

Второй отрезок: $2 \times \frac{1}{3} \text{ см} = \frac{2}{3} \text{ см}$

Третий отрезок: $3 \times \frac{1}{3} \text{ см} = 1 \text{ см}$

Длина среднего отрезка и есть высота нашего шарового пояса: $h = \frac{2}{3} \text{ см}$.

4. Подставим значения $R$ и $h$ в формулу площади шарового пояса:

$S_{зоны} = 2 \pi R h = 2 \pi \cdot 1 \text{ см} \cdot \frac{2}{3} \text{ см} = \frac{4\pi}{3} \text{ см}^2$

Ответ: Площадь поверхности шара, заключенная между секущими плоскостями, равна $\frac{4\pi}{3} \text{ см}^2$.