Номер 17.21, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17.21. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник (рис. 17.6). Докажите, что площадь поверхности конуса равна площади поверхности шара, диаметр которого равен высоте конуса.

Рис. 17.6

Дано:

Конус, у которого осевое сечение является равносторонним треугольником.
Шар, диаметр которого $D_{шара}$ равен высоте конуса $h_{конуса}$.

Найти:

Доказать, что площадь полной поверхности конуса $S_{конуса}$ равна площади поверхности шара $S_{шара}$.

Решение:

Площадь полной поверхности конуса вычисляется как сумма площади основания и площади боковой поверхности: $S_{конуса} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l$, где $r$ – радиус основания конуса, а $l$ – длина его образующей.

По условию, осевое сечение конуса — это равносторонний треугольник. Обозначим его сторону как $a$. Две стороны этого треугольника являются образующими конуса $l$, а третья сторона — диаметром основания конуса $2r$. Таким образом, для нашего конуса выполняется равенство: $l = a$ и $2r = a$. Отсюда следует, что образующая конуса в два раза больше радиуса его основания: $l = 2r$.

Подставим это соотношение в формулу площади полной поверхности конуса:
$S_{конуса} = \pi r^2 + \pi r (2r) = \pi r^2 + 2\pi r^2 = 3\pi r^2$.

Теперь рассмотрим шар. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$, где $R$ – радиус шара. Через диаметр $D$ формула выглядит так: $S_{шара} = \pi D^2$.

По условию задачи, диаметр шара равен высоте конуса: $D_{шара} = h_{конуса}$. Высота конуса $h_{конуса}$ является высотой равностороннего осевого сечения со стороной $a = 2r$. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим $a = 2r$ в формулу высоты:
$h_{конуса} = \frac{2r\sqrt{3}}{2} = r\sqrt{3}$.

Следовательно, диаметр шара $D_{шара} = r\sqrt{3}$.

Теперь мы можем вычислить площадь поверхности шара:
$S_{шара} = \pi D_{шара}^2 = \pi (r\sqrt{3})^2 = \pi (r^2 \cdot 3) = 3\pi r^2$.

Сравнив полученные выражения для площади поверхности конуса и площади поверхности шара, мы видим, что они равны:
$S_{конуса} = 3\pi r^2$
$S_{шара} = 3\pi r^2$
Таким образом, $S_{конуса} = S_{шара}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь поверхности конуса ($S_{конуса} = 3\pi r^2$) равна площади поверхности шара ($S_{шара} = 3\pi r^2$), диаметр которого равен высоте конуса.