Номер 17.14, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17.14. Через середину радиуса шара проведена плоскость, перпендикулярная этому радиусу. В каком отношении эта плоскость разбивает площадь поверхности данного шара?

Дано:

Шар радиуса $R$.

Секущая плоскость, которая перпендикулярна радиусу и проходит через его середину.

Найти:

Отношение, в котором плоскость делит площадь поверхности шара.

Решение:

Пусть $R$ — радиус шара. Полная площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

$S_{шара} = 4\pi R^2$

Секущая плоскость, перпендикулярная радиусу, делит поверхность шара на две части, которые являются поверхностями сферических сегментов (их также называют сферическими шапочками). Площадь поверхности сферического сегмента вычисляется по формуле:

$S_{сегм} = 2\pi R h$

где $h$ — высота соответствующего сегмента.

По условию задачи, плоскость проходит через середину радиуса. Это означает, что расстояние от центра шара до секущей плоскости равно половине радиуса, то есть $d = \frac{R}{2}$.

Эта плоскость делит шар на два сегмента: меньший и больший. Найдем их высоты.

Высота меньшего сегмента, $h_1$, равна разности между радиусом шара и расстоянием от центра до плоскости:

$h_1 = R - d = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$

Теперь найдем площадь поверхности этого меньшего сегмента, $S_1$:

$S_1 = 2\pi R h_1 = 2\pi R \cdot \left(\frac{R}{2}\right) = \pi R^2$

Площадь поверхности большего сегмента, $S_2$, можно найти, вычтя площадь меньшего из общей площади поверхности шара:

$S_2 = S_{шара} - S_1 = 4\pi R^2 - \pi R^2 = 3\pi R^2$

Для проверки можно вычислить площадь $S_2$ через высоту большего сегмента, $h_2$. Высота большего сегмента равна сумме радиуса и расстояния от центра до плоскости:

$h_2 = R + d = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$

Тогда площадь $S_2$ будет:

$S_2 = 2\pi R h_2 = 2\pi R \cdot \left(\frac{3R}{2}\right) = 3\pi R^2$

Результаты совпадают.

Теперь найдем отношение, в котором плоскость делит площадь поверхности шара. Это отношение $S_1$ к $S_2$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R^2}{3\pi R^2} = \frac{1}{3}$

Таким образом, отношение площадей равно 1:3.

Ответ: Плоскость разбивает площадь поверхности данного шара в отношении 1:3.