Номер 17.10, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17.10. Диаметр Луны в четыре раза меньше диаметра Земли. Во сколько раз площадь поверхности Луны меньше площади поверхности Земли?

Дано:

Пусть $D_З$ — диаметр Земли, а $D_Л$ — диаметр Луны.

По условию задачи, диаметр Луны в четыре раза меньше диаметра Земли, следовательно, их отношение равно: $\frac{D_З}{D_Л} = 4$.

(Так как в задаче используются относительные величины, перевод в систему СИ не требуется.)

Найти:

Во сколько раз площадь поверхности Луны ($S_Л$) меньше площади поверхности Земли ($S_З$). Это эквивалентно нахождению отношения $\frac{S_З}{S_Л}$.

Решение:

Для решения задачи будем считать, что Земля и Луна имеют форму шара. Площадь поверхности сферы $S$ с радиусом $R$ определяется формулой: $S = 4 \pi R^2$.

Радиус $R$ связан с диаметром $D$ соотношением $R = \frac{D}{2}$. Подставим это выражение в формулу для площади поверхности, чтобы выразить ее через диаметр: $S = 4 \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = 4 \pi \frac{D^2}{4} = \pi D^2$.

Таким образом, площадь поверхности сферы прямо пропорциональна квадрату ее диаметра.

Применим эту формулу для Земли и Луны:

Площадь поверхности Земли: $S_З = \pi D_З^2$.

Площадь поверхности Луны: $S_Л = \pi D_Л^2$.

Чтобы найти, во сколько раз площадь поверхности Земли больше площади поверхности Луны, составим их отношение: $\frac{S_З}{S_Л} = \frac{\pi D_З^2}{\pi D_Л^2} = \frac{D_З^2}{D_Л^2} = \left(\frac{D_З}{D_Л}\right)^2$.

Из условия нам известно, что $\frac{D_З}{D_Л} = 4$. Подставим это значение в полученное уравнение: $\frac{S_З}{S_Л} = 4^2 = 16$.

Это означает, что площадь поверхности Земли в 16 раз больше площади поверхности Луны.

Ответ: Площадь поверхности Луны в 16 раз меньше площади поверхности Земли.