Номер 17.12, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17.12. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник.
Во сколько раз площадь описанной сферы больше площади
сферы, вписанной в этот конус?

Дано:

Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник.

Найти:

Отношение площади описанной сферы к площади вписанной сферы $\frac{S_{опис}}{S_{впис}}$.

Решение:

Пусть осевым сечением конуса является равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Высота конуса $h$ является высотой этого треугольника, а радиус основания конуса $r_{кон}$ равен половине его основания.

Сфера, вписанная в конус, и сфера, описанная около конуса, в осевом сечении образуют соответственно вписанную и описанную окружности для треугольника $ABC$. Пусть $r$ — радиус вписанной сферы, а $R$ — радиус описанной сферы.

Для равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают и лежат в точке пересечения его высот, медиан и биссектрис. Эта точка делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины.

Найдем высоту $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Радиус вписанной окружности (и вписанной сферы) $r$ равен одной трети высоты треугольника:

$r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Радиус описанной окружности (и описанной сферы) $R$ равен двум третям высоты треугольника:

$R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi \cdot (\text{радиус})^2$.

Площадь поверхности вписанной сферы:

$S_{впис} = 4\pi r^2$

Площадь поверхности описанной сферы:

$S_{опис} = 4\pi R^2$

Найдем искомое отношение площадей:

$\frac{S_{опис}}{S_{впис}} = \frac{4\pi R^2}{4\pi r^2} = \left(\frac{R}{r}\right)^2$

Подставим найденные значения радиусов:

$\frac{R}{r} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{6}{a\sqrt{3}} = \frac{6}{3} = 2$

Тогда отношение площадей равно:

$\frac{S_{опис}}{S_{впис}} = 2^2 = 4$

Таким образом, площадь описанной сферы в 4 раза больше площади вписанной сферы.

Ответ: в 4 раза.