gdz.top
Номер 17.11, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков
Авторы: Смирнов В. А., Туяков Е. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава III. Тела вращения и их элементы. Параграф 17. Площадь сферы и ее частей - номер 17.11, страница 108.
№17.10
№17.11 (с. 108)
Условие. №17.11 (с. 108)
17.11. Во сколько раз площадь сферы, вписанной в куб, меньше
площади сферы, описанной около этого куба.
Решение 2 (rus). №17.11 (с. 108)
Дано:
Пусть $a$ — длина ребра куба.
$S_{вп}$ — площадь поверхности сферы, вписанной в куб.
$S_{оп}$ — площадь поверхности сферы, описанной около куба.
Найти:
Найти отношение $\frac{S_{оп}}{S_{вп}}$, чтобы определить, во сколько раз площадь вписанной сферы меньше площади описанной.
Решение:
Площадь поверхности сферы с радиусом $R_{сферы}$ вычисляется по формуле $S = 4\pi R_{сферы}^2$.
1. Найдем радиус вписанной сферы ($r$).
Сфера, вписанная в куб, касается центров его граней. Следовательно, её диаметр равен длине ребра куба $a$.
$2r = a \implies r = \frac{a}{2}$
2. Вычислим площадь вписанной сферы ($S_{вп}$).
$S_{вп} = 4\pi r^2 = 4\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{a^2}{4} = \pi a^2$
3. Найдем радиус описанной сферы ($R$).
Сфера, описанная около куба, проходит через все его вершины. Следовательно, её диаметр равен главной диагонали куба $d$.
Главную диагональ куба можно найти по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
$2R = d = a\sqrt{3} \implies R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
4. Вычислим площадь описанной сферы ($S_{оп}$).
$S_{оп} = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{3a^2}{4} = 3\pi a^2$
5. Найдем искомое отношение площадей.
$\frac{S_{оп}}{S_{вп}} = \frac{3\pi a^2}{\pi a^2} = 3$
Таким образом, площадь сферы, вписанной в куб, в 3 раза меньше площади сферы, описанной около этого куба.
Ответ: в 3 раза.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 11 класс, для упражнения номер 17.11 расположенного на странице 108 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №17.11 (с. 108), авторов: Смирнов (Владимир Алексеевич), Туяков (Есенкельды Алыбаевич), учебного пособия издательства Мектеп.