Номер 12, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Основания равнобедренной трапеции равны 2 см и 4 см, а боковые стороны равны 3 см. Найдите площадь поверхности вращения этой трапеции, вокруг прямой, проходящей через середины оснований:

A) $8\pi \text{ см}^2$;

B) $10\pi \text{ см}^2$;

C) $12\pi \text{ см}^2$;

D) $14\pi \text{ см}^2$.

Дано:

Равнобедренная трапеция

Большее основание $a = 4$ см

Меньшее основание $b = 2$ см

Боковая сторона $l = 3$ см

Ось вращения проходит через середины оснований.

Перевод в СИ:

$a = 0.04$ м

$b = 0.02$ м

$l = 0.03$ м

Найти:

Площадь поверхности вращения $S_{пов}$

Решение:

При вращении равнобедренной трапеции вокруг прямой, проходящей через середины ее оснований, образуется тело вращения, которое является усеченным конусом. Площадь поверхности этого тела состоит из площади боковой поверхности и площадей двух оснований (верхнего и нижнего).

Радиус большего основания усеченного конуса, $R$, равен половине большего основания трапеции:

$R = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Радиус меньшего основания усеченного конуса, $r$, равен половине меньшего основания трапеции:

$r = \frac{b}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Образующая усеченного конуса, $l$, равна длине боковой стороны трапеции:

$l = 3$ см.

Площадь полной поверхности усеченного конуса ($S_{пов}$) вычисляется по формуле:

$S_{пов} = S_{бок} + S_{верхн.осн.} + S_{нижн.осн.}$

Площадь боковой поверхности усеченного конуса находится по формуле:

$S_{бок} = \pi(R+r)l$

Подставим наши значения:

$S_{бок} = \pi(2+1) \cdot 3 = 3 \cdot 3 \pi = 9\pi$ см².

Площадь верхнего основания (круга) находится по формуле:

$S_{верхн.осн.} = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см².

Площадь нижнего основания (круга) находится по формуле:

$S_{нижн.осн.} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см².

Теперь найдем полную площадь поверхности, сложив все три площади:

$S_{пов} = 9\pi + \pi + 4\pi = 14\pi$ см².

Ответ: $14\pi$ см².