Номер 7, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Радиус основания конуса равен 2 см. Через середину высоты этого конуса проведена плоскость, параллельная плоскости основания.

Найдите площадь получившегося сечения:

A) $\pi$ см$^2$;

B) $2\pi$ см$^2$;

C) $3\pi$ см$^2$;

D) $4\pi$ см$^2$.

Дано:

Радиус основания конуса $R = 2$ см.

Секущая плоскость проведена через середину высоты конуса и параллельна его основанию.

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь получившегося сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Сечение конуса плоскостью, которая параллельна его основанию, является кругом. Эта плоскость отсекает от исходного конуса верхнюю часть, которая представляет собой меньший конус, подобный исходному.

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника равна высоте конуса $H$, а половина основания равна радиусу основания конуса $R$. Секущая плоскость в этом осевом сечении будет представлена отрезком, параллельным основанию треугольника.

Пусть $r$ — это радиус получившегося сечения, а $h$ — высота меньшего, отсечённого конуса. По условию задачи, секущая плоскость проведена через середину высоты исходного конуса, поэтому высота малого конуса составляет половину высоты большого:

$h = \frac{H}{2}$

Так как малый конус подобен большому, то их осевые сечения (треугольники) также подобны. Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. В частности, отношение радиусов оснований равно отношению высот:

$\frac{r}{R} = \frac{h}{H}$

Подставим в это соотношение $h = \frac{H}{2}$:

$\frac{r}{R} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$

Из этой пропорции мы можем выразить радиус сечения $r$:

$r = \frac{R}{2}$

Подставим известное из условия значение радиуса основания $R = 2$ см:

$r = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1 \text{ см}$

Теперь мы можем найти площадь сечения. Поскольку сечение является кругом с радиусом $r$, его площадь $S_{сеч}$ вычисляется по формуле площади круга:

$S_{сеч} = \pi r^2$

Подставим найденное значение радиуса $r = 1$ см в формулу:

$S_{сеч} = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 = \pi \text{ см}^2$

Ответ:

$\pi \text{ см}^2$.