Номер 17, страница 112 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см. Найдите радиус описанной сферы:

А) 5 см; В) 6 см; С) 8 см; D) 10 см.

Дано:

Осевое сечение цилиндра - прямоугольник.

Сторона 1 прямоугольника, $a = 6 \text{ см}$

Сторона 2 прямоугольника, $b = 8 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 0.06 \text{ м}$

$b = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы, $R$ - ?

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра ($h$), а другая — диаметру его основания ($d$). Таким образом, стороны нашего прямоугольника равны $h$ и $d$. Неважно, какая из сторон (6 см или 8 см) является высотой, а какая — диаметром, так как для нахождения радиуса описанной сферы нам понадобится диагональ этого прямоугольника.

Сфера, описанная около цилиндра, — это сфера, которая касается обоих оснований цилиндра по их окружностям. Центр такой сферы совпадает с центром симметрии цилиндра (серединой его оси). Диаметр описанной сферы равен диагонали осевого сечения цилиндра.

Найдем диагональ $D$ прямоугольника по теореме Пифагора. Стороны прямоугольника $a=6 \text{ см}$ и $b=8 \text{ см}$ являются катетами, а диагональ $D$ — гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованном этими сторонами.

$D^2 = a^2 + b^2$

Подставим значения сторон:

$D^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$D = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$

Диагональ осевого сечения равна 10 см. Следовательно, диаметр описанной сферы $D_{сферы}$ также равен 10 см.

$D_{сферы} = 10 \text{ см}$

Радиус сферы $R$ равен половине ее диаметра:

$R = \frac{D_{сферы}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$

Ответ: 5 см.