Вопрос?, страница 96 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Какая фигура получается в сечении шара плоскостью?

Решение

При пересечении шара любой плоскостью в сечении всегда получается круг.

Дадим развернутое геометрическое объяснение. Шар — это трёхмерное тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не превышающем заданное расстояние (радиус $R$), от заданной точки (центра $O$).

Представим, что мы пересекаем шар плоскостью $\alpha$. Сечение — это множество всех точек, которые принадлежат одновременно и шару, и плоскости $\alpha$.

Линия, которая ограничивает это сечение, является пересечением поверхности шара (сферы) с плоскостью $\alpha$.

Пусть $H$ — это основание перпендикуляра, опущенного из центра шара $O$ на плоскость $\alpha$. Расстояние $OH$ от центра до плоскости обозначим как $d$.

Возьмём любую точку $M$ на линии пересечения сферы и плоскости. Поскольку точка $M$ лежит на сфере, её расстояние до центра $O$ равно радиусу шара $R$, то есть $OM = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OHM$. Он является прямоугольным, так как $OH$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $H$, в том числе и прямой $HM$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle OHM$ имеем:

$OM^2 = OH^2 + HM^2$

Отсюда можем выразить квадрат расстояния $HM$ от центра сечения $H$ до точки $M$ на его границе:

$HM^2 = OM^2 - OH^2$

Подставим наши обозначения $R$ и $d$:

$HM^2 = R^2 - d^2$

Для данной плоскости и данного шара величины $R$ и $d$ постоянны. Следовательно, расстояние $HM$ также является постоянной величиной для всех точек $M$ на линии пересечения. Обозначим это расстояние как $r = HM$.

$r = \sqrt{R^2 - d^2}$

Множество всех точек на плоскости $\alpha$, равноудаленных от точки $H$, — это окружность с центром в $H$ и радиусом $r$. Фигура, ограниченная этой окружностью, является кругом.

В зависимости от расстояния $d$ от центра шара до плоскости возможны следующие случаи:

• Если плоскость проходит через центр шара ($d=0$), то радиус сечения $r = \sqrt{R^2 - 0^2} = R$. В этом случае сечением является большой круг, радиус которого равен радиусу шара.
• Если плоскость пересекает шар, но не проходит через его центр ($0 < d < R$), сечением является круг с радиусом $r < R$.
• Если плоскость касается шара ($d=R$), то радиус сечения $r = \sqrt{R^2 - R^2} = 0$. Сечение вырождается в одну точку — точку касания.
• Если плоскость находится дальше от центра, чем радиус шара ($d > R$), то у шара и плоскости нет общих точек, и сечение является пустым множеством.

Ответ: В сечении шара плоскостью получается круг. Если плоскость касается шара, то сечением является точка.