Задания, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

а)

б)

в)

Рис. 15.4

Дано:

Сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Плоскость $\alpha$, которая касается сферы в точке $O_1$.

Доказать:

Радиус $OO_1$ перпендикулярен касательной плоскости $\alpha$, то есть $OO_1 \perp \alpha$.

Решение:

Для доказательства воспользуемся методом от противного.

По определению, касательная плоскость имеет со сферой ровно одну общую точку. В нашем случае это точка $O_1$. Все остальные точки плоскости $\alpha$ лежат вне сферы.

Предположим, что радиус $OO_1$, проведенный в точку касания, не перпендикулярен плоскости $\alpha$.

Если это так, то перпендикуляром, опущенным из центра сферы $O$ на плоскость $\alpha$, является какой-то другой отрезок, назовем его $OH$, где $H$ — некоторая точка плоскости $\alpha$, причем $H$ не совпадает с $O_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OHO_1$. Так как $OH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а $O_1$ — точка на этой плоскости, то $\triangle OHO_1$ является прямоугольным, где $\angle OHO_1 = 90^{\circ}$. В этом треугольнике $OH$ — катет, а $OO_1$ — наклонная к плоскости $\alpha$ и гипотенуза треугольника.

В прямоугольном треугольнике катет всегда короче гипотенузы, следовательно:

$OH < OO_1$

Поскольку точка $O_1$ является точкой касания и лежит на сфере, ее расстояние до центра $O$ равно радиусу сферы $R$. То есть, $OO_1 = R$.

Тогда из нашего неравенства следует, что $OH < R$.

Это означает, что расстояние от центра сферы $O$ до точки $H$ (лежащей в плоскости $\alpha$) меньше радиуса сферы. Следовательно, точка $H$ находится внутри сферы.

Но это противоречит определению касательной плоскости. Если точка $H$ плоскости $\alpha$ лежит внутри сферы, то плоскость $\alpha$ не может быть касательной — она будет пересекать сферу по окружности, имея с ней бесконечно много общих точек.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Значит, единственно возможным перпендикуляром из точки $O$ к плоскости $\alpha$ является сам радиус $OO_1$.

Следовательно, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

Ответ: Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, что и требовалось доказать.