Номер 14.24, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.24. Вращением графика какой функции можно получить поверх-ность, изображенную на рисунке 14.15?

Рис. 14.15

Изображенная на рисунке поверхность является двойным круговым конусом, ось симметрии которого совпадает с осью $z$, а вершина находится в начале координат.

Такие поверхности называются поверхностями вращения. Они образуются при вращении некоторой плоской кривой (образующей) вокруг неподвижной прямой (оси вращения). В данном случае осью вращения является ось $z$.

Чтобы определить функцию, график которой образует данную поверхность при вращении, рассмотрим сечение этой поверхности плоскостью, проходящей через ось вращения. Возьмем, к примеру, координатную плоскость $xz$, уравнение которой $y=0$.

Сечением конуса плоскостью, проходящей через его ось, является пара прямых, пересекающихся в вершине конуса. В плоскости $xz$ это будут две прямые, проходящие через начало координат. Уравнение прямой, проходящей через начало координат в плоскости $xz$, можно записать в виде $z = kx$, где $k$ — некоторая постоянная (коэффициент наклона прямой), не равная нулю.

Таким образом, график линейной функции $z=kx$ является образующей для данного конуса. При вращении этой прямой вокруг оси $z$ каждая ее точка $(x_0, 0, z_0)$, где $z_0=kx_0$, описывает окружность радиуса $r=|x_0|$ в плоскости $z=z_0$. Уравнение этой окружности в пространстве: $x^2 + y^2 = r^2 = x_0^2$. Поскольку $x_0 = z_0/k$, мы можем подставить это выражение в уравнение окружности: $x^2 + y^2 = (z_0/k)^2$. Так как это верно для любой высоты, заменяя $z_0$ на $z$, мы получаем уравнение всей поверхности вращения: $x^2 + y^2 = (z/k)^2$, или $z^2 = k^2(x^2+y^2)$, что является каноническим уравнением конуса.

Следовательно, поверхность, изображенная на рисунке, может быть получена вращением графика линейной функции вокруг оси $z$.

Ответ: Поверхность можно получить вращением графика линейной функции, например, $z=kx$ (где $k$ - постоянная, не равная нулю), вокруг оси $z$.