Номер 14.20, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.20. Какая фигура получится при вращении правильного шестиугольника вокруг прямой, проходящей через середины его противоположных сторон (рис. 14.11)? Найдите площадь поверхности этой фигуры, если стороны шестиугольника равны 1 см.

Рис. 14.11

Какая фигура получится при вращении правильного шестиугольника вокруг прямой, проходящей через середины его противолежащих сторон?

При вращении правильного шестиугольника вокруг оси, проходящей через середины двух противолежащих сторон, образуется тело вращения. Поверхность этого тела можно представить как комбинацию поверхностей более простых фигур. Она состоит из боковых поверхностей четырех одинаковых усеченных конусов и боковых поверхностей четырех одинаковых конусов. Более наглядно, фигура имеет наибольший диаметр в центральной части и сужается к концам, которые заканчиваются не плоскостями, а вершинами конусов, лежащими на оси вращения. Центральная часть фигуры образована двумя парами усеченных конусов, соединенных по их большим основаниям. "Крышки" сверху и снизу этой фигуры образованы четырьмя конусами, чьи вершины лежат на оси вращения.

Ответ: Получится тело вращения, поверхность которого состоит из четырех боковых поверхностей усеченных конусов и четырех боковых поверхностей конусов.

Найдите площадь поверхности этой фигуры, если стороны шестиугольника равны 1 см.

Дано:
Правильный шестиугольник
Сторона шестиугольника $l = 1$ см
Ось вращения $a$ проходит через середины противолежащих сторон.

Найти:
Площадь поверхности фигуры вращения $S$.

Решение:
Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть центр шестиугольника находится в начале координат (0,0), а ось вращения совпадает с осью $OY$. Сторона шестиугольника $l=1$ см. В такой системе координат вершины правильного шестиугольника будут иметь следующие координаты:

• $А(1; 0)$
• $B(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$
• $C(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$
• $D(-1; 0)$
• $E(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$
• $F(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Ось вращения $OY$ проходит через середины горизонтальных сторон $BC$ и $EF$.

Площадь поверхности полученного тела вращения равна сумме площадей поверхностей, образованных вращением каждой из шести сторон шестиугольника вокруг оси $OY$.

$S = S_{AB} + S_{BC} + S_{CD} + S_{DE} + S_{EF} + S_{FA}$

1. Найдем площадь поверхности, образованной вращением наклонных сторон (например, $AB$).
Сторона $AB$ соединяет точки $A(1; 0)$ и $B(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$. При вращении вокруг оси $OY$ она образует боковую поверхность усеченного конуса.Радиусы оснований этого усеченного конуса равны x-координатам точек $A$ и $B$: $R = x_A = 1$ см и $r = x_B = \frac{1}{2}$ см.Образующая усеченного конуса равна длине стороны шестиугольника: $L = l = 1$ см.Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{усеч.кон.} = \pi(R+r)L$.$S_{AB} = \pi(1 + \frac{1}{2}) \cdot 1 = \frac{3}{2}\pi$ см².В силу симметрии, стороны $AF$, $CD$ и $DE$ образуют поверхности с такой же площадью:$S_{AB} = S_{FA} = S_{CD} = S_{DE} = \frac{3}{2}\pi$ см².Суммарная площадь этих четырех поверхностей: $S_1 = 4 \cdot \frac{3}{2}\pi = 6\pi$ см².

2. Найдем площадь поверхности, образованной вращением горизонтальных сторон (например, $BC$).
Сторона $BC$ соединяет точки $B(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $C(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$. Она пересекает ось вращения $OY$ в своей середине $M(0; \frac{\sqrt{3}}{2})$.При вращении отрезка $MB$ образуется боковая поверхность конуса с вершиной в точке $M$ (на оси вращения). Радиус основания этого конуса равен $r_{кон.} = x_B = \frac{1}{2}$ см, а образующая равна длине отрезка $MB$, $L_{кон.} = \frac{l}{2} = \frac{1}{2}$ см.Площадь боковой поверхности конуса: $S_{кон.} = \pi r_{кон.} L_{кон.}$.$S_{MB} = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4}$ см².Отрезок $MC$ образует поверхность такого же конуса.Таким образом, вся сторона $BC$ образует поверхность из двух конусов с общей вершиной на оси вращения:$S_{BC} = S_{MB} + S_{MC} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ см².Сторона $EF$ симметрична стороне $BC$ и образует поверхность с такой же площадью: $S_{EF} = \frac{\pi}{2}$ см².Суммарная площадь этих двух поверхностей: $S_2 = S_{BC} + S_{EF} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$ см².

3. Найдем общую площадь поверхности.
$S = S_1 + S_2 = 6\pi + \pi = 7\pi$ см².

Ответ: $S = 7\pi$ см².