Номер 14.16, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.16. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 4 см и 2 см, а боковые ребра равны 3 см. Найдите площадь поверхности вращения этой пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры оснований (рис. 14.8).

Рис. 14.8

Дано:

Правильная четырехугольная усеченная пирамида.

Сторона нижнего основания: $a = 4$ см.

Сторона верхнего основания: $b = 2$ см.

Боковое ребро: $l = 3$ см.

Найти:

Площадь поверхности вращения $S_{пов}$.

Решение:

Тело, образованное вращением усеченной пирамиды вокруг оси, проходящей через центры ее оснований, состоит из центральной части (боковой поверхности усеченного конуса) и двух оснований (кругов). Полная площадь поверхности вращения будет суммой площадей этих трех частей: $S_{пов} = S_1 + S_2 + S_{бок}$.

1. Основания тела вращения.

При вращении квадратных оснований пирамиды вокруг их центров образуются круги. Радиусы этих кругов равны расстоянию от центра квадрата до его вершины, то есть половине диагонали соответствующего квадрата.

Найдем радиус $r_2$ нижнего, большего основания тела вращения. Сторона нижнего квадрата $a = 4$ см, его диагональ $d_2 = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см. Тогда радиус:

$r_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Площадь нижнего основания $S_2$ равна:

$S_2 = \pi r_2^2 = \pi (2\sqrt{2})^2 = 8\pi$ см².

Найдем радиус $r_1$ верхнего, меньшего основания тела вращения. Сторона верхнего квадрата $b = 2$ см, его диагональ $d_1 = b\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см. Тогда радиус:

$r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

Площадь верхнего основания $S_1$ равна:

$S_1 = \pi r_1^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$ см².

2. Боковая поверхность тела вращения.

Боковая поверхность тела вращения образуется при вращении боковых ребер пирамиды. Поскольку все боковые ребра равны и находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, они описывают боковую поверхность усеченного конуса. Радиусы оснований этого усеченного конуса — это найденные нами $r_1$ и $r_2$, а его образующая $L$ равна боковому ребру пирамиды, то есть $L = l = 3$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)L$

Подставляя значения, получаем:

$S_{бок} = \pi(\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) \cdot 3 = \pi(3\sqrt{2}) \cdot 3 = 9\pi\sqrt{2}$ см².

3. Полная площадь поверхности вращения.

Сложим площади двух оснований и боковой поверхности, чтобы найти полную площадь поверхности тела вращения:

$S_{пов} = S_1 + S_2 + S_{бок} = 2\pi + 8\pi + 9\pi\sqrt{2} = 10\pi + 9\pi\sqrt{2}$ см².

Вынесем общий множитель $\pi$ за скобки:

$S_{пов} = \pi(10 + 9\sqrt{2})$ см².

Ответ: $\pi(10 + 9\sqrt{2})$ см².