Номер 14.15, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.15. Какая фигура получится при вращении правильной четырех-угольной усеченной пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований (рис. 14.8)?

$a$

$D_1$

$A_1$

$C_1$

$B_1$

$A$

$C$

$B$

Рис. 14.8

Решение

Тело вращения — это пространственная фигура, образованная вращением плоской фигуры вокруг прямой, лежащей в той же плоскости. Чтобы определить, какая фигура получится в результате вращения правильной четырехугольной усеченной пирамиды, необходимо рассмотреть ее осевое сечение.

Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось вращения. В данном случае осью вращения является прямая a, проходящая через центры оснований пирамиды.

По определению, правильная четырехугольная усеченная пирамида имеет в основаниях два квадрата ($ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$), а отрезок, соединяющий их центры, перпендикулярен плоскостям оснований. Этот отрезок и лежит на оси вращения a.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ось a и середины противоположных сторон оснований (например, сторон $BC$ и $AD$). Такое сечение представляет собой равнобокую трапецию. Высота этой трапеции равна высоте усеченной пирамиды и лежит на оси вращения a.

При вращении этой равнобокой трапеции вокруг ее оси симметрии (которая совпадает с осью a) происходит следующее:

• Нижнее основание трапеции описывает круг, который является нижним основанием тела вращения.

• Верхнее основание трапеции описывает круг меньшего радиуса, который является верхним основанием тела вращения.

• Боковые стороны трапеции (которые являются апофемами пирамиды) описывают боковую поверхность тела вращения.

Полученная в результате такого вращения пространственная фигура, ограниченная двумя параллельными кругами (основаниями) и конической поверхностью (боковой поверхностью), называется усеченным конусом.

Ответ: Усеченный конус.