Номер 14.11, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

шегося сечения.

14.11. Имеет ли усеченный конус: а) центр симметрии; б) оси симметрии; в) плоскости симметрии?

а) центр симметрии

Центром симметрии фигуры называется такая точка $C$, что для любой точки $A$ фигуры симметричная ей точка $A'$ относительно центра $C$ также принадлежит этой фигуре. Усеченный конус — это тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Осью усеченного конуса является прямая, проходящая через центры его оснований.

Предположим, что усеченный конус имеет центр симметрии. В силу осевой симметрии конуса, этот центр должен лежать на его оси. Обозначим радиусы оснований как $R$ и $r$ (где $R \neq r$), а высоту — $h$. Расположим конус так, чтобы его ось совпадала с осью $Oz$, а центр большего основания находился в начале координат $O(0, 0, 0)$. Тогда центр меньшего основания будет в точке $O_1(0, 0, h)$.

Пусть точка $C(0, 0, z_c)$ является центром симметрии. Возьмем произвольную точку $A$ на окружности большего основания, например, $A(R, 0, 0)$. Симметричная ей точка $A'$ относительно $C$ имеет координаты $A'(2 \cdot 0 - R, 2 \cdot 0 - 0, 2z_c - 0)$, то есть $A'(-R, 0, 2z_c)$.

Точка $A'$ должна принадлежать усеченному конусу. Расстояние от точки $A'$ до оси $Oz$ равно $R$. Единственные точки конуса, удаленные от оси на расстояние $R$, лежат на окружности большего основания, то есть в плоскости $z=0$. Следовательно, z-координата точки $A'$ должна быть равна нулю: $2z_c = 0$, откуда $z_c = 0$. Таким образом, если центр симметрии и существует, то он должен совпадать с центром большего основания $O(0, 0, 0)$.

Теперь проверим, является ли точка $O(0, 0, 0)$ центром симметрии. Возьмем точку $B$ на окружности меньшего основания, например, $B(r, 0, h)$. Точка $B'$, симметричная точке $B$ относительно начала координат, имеет координаты $B'(-r, 0, -h)$. Так как высота усеченного конуса $h > 0$, то z-координата точки $B'$ отрицательна ($-h < 0$), в то время как все точки усеченного конуса имеют неотрицательные z-координаты (от $0$ до $h$). Значит, точка $B'$ не принадлежит конусу.

Следовательно, усеченный конус не имеет центра симметрии (за исключением вырожденного случая цилиндра, когда $R=r$, но в общем случае для усеченного конуса $R \neq r$).

Ответ: Нет, усеченный конус не имеет центра симметрии.

б) оси симметрии

Осью симметрии фигуры называется такая прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол, отличный от $360^\circ$, фигура совмещается сама с собой.

Усеченный конус является телом вращения. Прямая, проходящая через центры его оснований, является его осью вращения. При повороте усеченного конуса вокруг этой оси на любой угол он совмещается сам с собой. Следовательно, эта прямая является осью симметрии.

Рассмотрим возможность существования других осей симметрии. Если бы существовала ось симметрии, перпендикулярная оси конуса, то поворот на $180^\circ$ вокруг нее должен был бы совмещать фигуру саму с собой. Однако такой поворот поменял бы местами основания конуса. Так как радиусы оснований различны ($R \neq r$), фигура не совместится сама с собой. Любая другая ось симметрии, не совпадающая с осью конуса и не перпендикулярная ей, нарушила бы круговую симметрию оснований.

Таким образом, усеченный конус имеет только одну ось симметрии.

Ответ: Да, усеченный конус имеет одну ось симметрии — прямую, проходящую через центры его оснований.

в) плоскости симметрии

Плоскостью симметрии фигуры называется такая плоскость, что для любой точки $A$ фигуры симметричная ей точка $A'$ относительно этой плоскости также принадлежит этой фигуре.

Рассмотрим любую плоскость, проходящую через ось усеченного конуса. Отражение относительно этой плоскости оставляет все точки самой плоскости на месте, а любую точку $A$ конуса, не лежащую в этой плоскости, переводит в точку $A'$, расположенную по другую сторону от плоскости. Точка $A'$ будет находиться на той же высоте и на том же расстоянии от оси конуса, что и точка $A$. Следовательно, точка $A'$ также принадлежит усеченному конусу.

Таким образом, любая плоскость, содержащая ось усеченного конуса, является его плоскостью симметрии. Поскольку таких плоскостей можно провести бесконечно много (вращая плоскость вокруг оси), усеченный конус имеет бесконечное множество плоскостей симметрии.

Других плоскостей симметрии у конуса нет. Например, плоскость, перпендикулярная оси конуса, не является плоскостью симметрии, так как отражение в ней точки одного основания даст точку, не принадлежащую фигуре (как показано в пункте а).

Ответ: Да, усеченный конус имеет плоскости симметрии. Любая плоскость, проходящая через его ось, является плоскостью симметрии. Таких плоскостей бесконечно много.