Номер 14.10, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.10. Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 4 см. Через середину высоты этого усеченного конуса проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь получившегося сечения.

Дано:

Радиус меньшего основания усеченного конуса, $r_1 = 2$ см.

Радиус большего основания усеченного конуса, $r_2 = 4$ см.

Секущая плоскость проходит через середину высоты конуса.

Перевод в систему СИ:
$r_1 = 0.02$ м
$r_2 = 0.04$ м

Найти:

Площадь сечения, $S_{сеч}$.

Решение:

Сечение, образованное плоскостью, которая параллельна основаниям усеченного конуса, представляет собой круг. Чтобы найти его площадь, нам необходимо определить его радиус, который мы обозначим как $r_{сеч}$.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно имеет форму равнобокой трапеции. Радиусы оснований конуса $r_1$ и $r_2$ являются половинами параллельных сторон (оснований) этой трапеции.

Поскольку секущая плоскость проведена ровно посередине высоты конуса, радиус получившегося сечения $r_{сеч}$ будет равен среднему арифметическому радиусов оснований $r_1$ и $r_2$. Это следует из свойства средней линии трапеции. В осевом сечении линия, соответствующая сечению, является средней линией трапеции, а ее половина, отсчитанная от оси конуса, и есть искомый радиус.

Найдем радиус сечения по формуле: $r_{сеч} = \frac{r_1 + r_2}{2}$

Подставим числовые значения: $r_{сеч} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Площадь сечения (которое является кругом) вычисляется по формуле: $S = \pi \cdot r^2$

Вычислим площадь получившегося сечения: $S_{сеч} = \pi \cdot (r_{сеч})^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$ см$^2$.

Ответ: $9\pi$ см$^2$.