Номер 5, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Для правильной четырехугольной пирамиды SABCD, стороны основания которой равны 1 см, а высота равна 2 см, найдите косинус угла между прямыми SA и BC:

A) $\frac{\sqrt{2}}{6}$;

B) $\frac{\sqrt{3}}{6}$;

C) $\frac{1}{6}$;

D) $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Дано:

Пирамида $SABCD$ – правильная четырехугольная.
Сторона основания $a = AB = BC = CD = DA = 1$ см.
Высота $h = SO = 2$ см, где $O$ – центр основания.

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м
$h = 0.02$ м
Поскольку косинус угла является безразмерной величиной, для удобства вычислений можно использовать исходные единицы (см).

Найти:

$\cos(\alpha)$, где $\alpha$ – угол между скрещивающимися прямыми $SA$ и $BC$.

Решение:

Угол между двумя скрещивающимися прямыми равен углу между одной из этих прямых и прямой, параллельной второй прямой и пересекающей первую.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат $ABCD$. В квадрате стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $SA$ и $BC$ равен углу между пересекающимися прямыми $SA$ и $AD$. Этот угол – $\angle SAD$ в треугольнике $SAD$.

Рассмотрим треугольник $SAD$. Так как пирамида правильная, все ее боковые ребра равны, поэтому $SA = SD$. Это означает, что треугольник $SAD$ является равнобедренным.

Найдем косинус угла $\angle SAD$ по теореме косинусов для треугольника $SAD$: $SD^2 = SA^2 + AD^2 - 2 \cdot SA \cdot AD \cdot \cos(\angle SAD)$

Так как $SA = SD$, равенство принимает вид: $SA^2 = SA^2 + AD^2 - 2 \cdot SA \cdot AD \cdot \cos(\angle SAD)$

$0 = AD^2 - 2 \cdot SA \cdot AD \cdot \cos(\angle SAD)$

$2 \cdot SA \cdot AD \cdot \cos(\angle SAD) = AD^2$

$\cos(\angle SAD) = \frac{AD^2}{2 \cdot SA \cdot AD} = \frac{AD}{2 \cdot SA}$

Нам известна длина стороны основания $AD = 1$ см. Теперь необходимо найти длину бокового ребра $SA$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $SO$ – высота пирамиды ($SO=h=2$ см), а $OA$ – половина диагонали основания.

Диагональ квадрата $AC$ находится по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Тогда $OA = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь по теореме Пифагора для треугольника $SOA$ найдем $SA$: $SA^2 = SO^2 + OA^2$ $SA^2 = 2^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 4 + \frac{2}{4} = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$ $SA = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.

Подставим найденные значения $AD$ и $SA$ в формулу для косинуса угла: $\cos(\angle SAD) = \frac{AD}{2 \cdot SA} = \frac{1}{2 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\cos(\angle SAD) = \frac{1}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{6}$